Énoncés
II.5.40. Soit f ∈ L 1 [−π , π] une fonction 2π-périodique sur R. Utiliser la formule donnée en II.5.8 pour prouver que si
σ n (x) =
s 0 (x) + s 1 (x) + · · · + s n−1 (x)
n
(qui est appelée la n-ième moyenne de Cesàro de la série de Fourier de f ), alors
σ n (x) =
1
2πn
π
0
sin
2 1
2 nt
sin
2 1
2 t
(f (x + t) + f (x − t)) dt.
II.5.41. Prouver que si f est 2π-périodique et m f (x) M pour tout x,
alors m σ n (x) M pour tout x ∈ R et tout n ∈ N ∗ . Prouver aussi que si on a
σ n (x) = M (resp. σ n (x) = m) pour un certain n et un certain x, alors f (x) = M
(resp. f (x) = m) presque partout.
II.5.42. Montrer que si f est 2π-périodique, m f (x) M pour tout x et
n |a n | A, n |b n | B (n ∈ N
∗ ),
alors
m − A − B s n (x) M + A + B
pour toute valeur de n et de x. Utiliser le résultat de II.5.12 pour conclure que
sin x
1
+
sin 2x
2
+ · · · +
sin nx
n
π
2
+ 1
pour tout n et tout x.
II.5.43. Soit {c n } une suite décroissante de réels positifs. On suppose qu’il existe
A strictement positif tel que nc n A pour tout n ∈ N ∗ . Prouver que
n
k=1
c k sin kx
A(π + 1)
pour tout n et tout x.
II.5.44. Soit f une fonction impaire sur [−π , π] telle que |f (x)| M pour
x ∈ [−π , π] et telle que ses coefficients de Fourier b n soient positifs. Prouver que
|s n (x)| =
n
k=1
b k sin kx
5M.
243
II.5.40. Soit f ∈ L 1 [−π , π] une fonction 2π-périodique sur R. Utiliser la formule donnée en II.5.8 pour prouver que si
σ n (x) =
s 0 (x) + s 1 (x) + · · · + s n−1 (x)
n
(qui est appelée la n-ième moyenne de Cesàro de la série de Fourier de f ), alors
σ n (x) =
1
2πn
π
0
sin
2 1
2 nt
sin
2 1
2 t
(f (x + t) + f (x − t)) dt.
II.5.41. Prouver que si f est 2π-périodique et m f (x) M pour tout x,
alors m σ n (x) M pour tout x ∈ R et tout n ∈ N ∗ . Prouver aussi que si on a
σ n (x) = M (resp. σ n (x) = m) pour un certain n et un certain x, alors f (x) = M
(resp. f (x) = m) presque partout.
II.5.42. Montrer que si f est 2π-périodique, m f (x) M pour tout x et
n |a n | A, n |b n | B (n ∈ N
∗ ),
alors
m − A − B s n (x) M + A + B
pour toute valeur de n et de x. Utiliser le résultat de II.5.12 pour conclure que
sin x
1
+
sin 2x
2
+ · · · +
sin nx
n
π
2
+ 1
pour tout n et tout x.
II.5.43. Soit {c n } une suite décroissante de réels positifs. On suppose qu’il existe
A strictement positif tel que nc n A pour tout n ∈ N ∗ . Prouver que
n
k=1
c k sin kx
A(π + 1)
pour tout n et tout x.
II.5.44. Soit f une fonction impaire sur [−π , π] telle que |f (x)| M pour
x ∈ [−π , π] et telle que ses coefficients de Fourier b n soient positifs. Prouver que
|s n (x)| =
n
k=1
b k sin kx
5M.
243