Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.5.32. Prouver que si f est une fonction 2π-périodique dérivable sur R, alors
max
x∈R
|f (x) − s n (x)| = o
n
−1/2
.
II.5.33. Démontrer le théorème de Bernstein suivant. Si f est 2π-périodique
et vérifie la condition |f (x + h) − f (x)| L |h|
α pour un certain L > 0 et pour
α >
1
2 , alors la série
+∞
n=1
a 2
n + b 2
n converge.
II.5.34. Prouver que si f est 2π-périodique et vérifie la condition de Lipschitz
|f (x + h) − f (x)| L |h|
α pour un certain L > 0 et pour 0 < α 1, alors la série
+∞
n=1
|a n |
β + |b n |
β
converge pour β >
2
2α+1 .
II.5.35. Soit f une fonction 2π-périodique vérifiant la condition de Lipschitz
|f (x + h) − f (x)| L |h|
α pour un L et un α strictement positifs. Prouver que si
f est à variation bornée sur [0 , 2π], alors la série
+∞
n=1
a 2
n + b 2
n converge.
II.5.36. Donner un exemple de fonction continue et 2π-périodique dont la série
de Fourier ne converge pas sur R.
II.5.37. Prouver que si la fonction 2π-périodique f est bornée sur R, alors
|s n (x)| = O(ln n).
II.5.38. Soit L n les constantes de Lebesgue définies par
L n =
1
2π
π
−π
sin
n +
1
2
x
sin
x
2
dx, n ∈ N
∗ .
Montrer que L n =
4
π 2 ln n + O(1).
II.5.39. Prouver que si la fonction 2π-périodique f est continue sur R, alors
|s n (x)| = o(ln n).
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