Énoncés
II.5.26. Prouver que si f, g ∈ L 2 [−π , π], alors
lim
n→+∞
π
−π
g(x) (f (x) − s n (x)) dx = 0,
où s n est la n-ième somme partielle de la série de Fourier de f .
II.5.27. Montrer que si f, g ∈ L 2 [−π , π] et
f (x) ∼
1
2
a 0 +
+∞
n=1
(a n cos nx + b n sin nx),
g(x) ∼
1
2
α 0 +
+∞
n=1
(α n cos nx + β n sin nx),
alors
1
π
π
−π
f (x)g(x) dx =
1
2
a 0 α 0 +
+∞
n=1
(a n α n + b n β n ).
II.5.28. Montrer que si f ∈ L 2 [0 , 2π] et que si a n et b n sont ses coefficients de
Fourier, alors
+∞
n=1
b n
n
=
1
2π
2π
0
(π − x)f (x) dx.
II.5.29. Démontrer que si f, g ∈ L 1 [−π , π] ont la même série de Fourier, alors
f = g p.p. sur [−π , π].
II.5.30. Utiliser l’égalité de Parseval (voir II.5.27)
(a) pour sommer les séries
+∞
n=1
1
n 4 ,
+∞
n=1
1
(a 2 + n 2 )
2 ,
+∞
n=1
n 2
(a 2 + n 2 )
2 ,
(b) pour calculer
π
−π
cos
6 x dx
et
π
−π
cos
8 x dx.
II.5.31. Prouver que si f ∈ L 2 [−π , π] et que si a n et b n sont ses coefficients de
Fourier, alors la série
+∞
n=1
|an|+|bn|
n
converge.
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