Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.5.20. Montrer que, pour 0 < x < π,
cos x =
8
π
+∞
n=1
n sin 2nx
4n 2 − 1
et sin x =
2
π
−
4
π
+∞
n=1
cos 2nx
4n 2 − 1
.
II.5.21. Montrer que
ln
2 sin
x
2
= −
+∞
n=1
cos nx
n
pour x = 2kπ (k ∈ Z)
et
ln
2 cos
x
2
=
+∞
n=1
(−1)
n+1 cos nx
n
pour x = (2k + 1)π (k ∈ Z).
II.5.22. Soit f une fonction 2π-périodique de L 1 [−π , π] et a n , b n ses coefficients
de Fourier. Prouver que, pour x ∈ [0 , 2π],
x
0
f (t) −
1
2
a 0
dt =
+∞
n=1
a n sin nx + b n (1 − cos nx)
n
.
II.5.23. Prouver que, sous les hypothèses du problème précédent, la série
+∞
n=1
bn
n
converge. Utiliser ce résultat pour montrer que la série
+∞
n=2
sin nx
ln n n’est la série de
Fourier d’aucune fonction intégrable.
II.5.24. Prouver que si f ∈ L 2 [−π , π], alors
1
2
a
2
0 +
+∞
n=1
a
2
n + b
2
n
1
π
π
−π
f
2 (x) dx.
(Cette inégalité est connue sous le nom d’inégalité de Bessel .)
II.5.25. Utiliser les résultats donnés en II.5.22 et II.5.24 pour prouver que si
f ∈ L 2 [−π , π], on a alors, pour tout ensemble mesurable A ⊂ [−π , π],
lim
n→+∞
A
(f (x) − s n (x)) dx = 0,
où s n est la n-ième somme partielle de la série de Fourier de f .
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