Énoncés
II.5.14. Prouver qu’en II.5.4, les grands O ne peuvent pas être remplacés par
des petits o.
II.5.15. Soit f la fonction 2π-périodique telle que f (x) =
π−x
2 pour x ∈ [0 , 2π[.
On note s n (x) la n-ième somme partielle de sa série de Fourier (voir II.5.12).
Prouver que si x n est le plus petit nombre strictement positif où s n (x) atteint son
maximum local, alors lim
n→+∞
s n (x n ) =
π
0
sin x
x dx.
II.5.16. Montrer que, pour a = 0,
e
ax =
e 2aπ − 1
π
1
2a
+
+∞
n=1
a cos nx − n sin nx
a 2 + n 2
, 0 < x < 2π,
e
ax =
e aπ − 1
π
+
2
π
+∞
n=1
((−1)
n e
aπ
− 1)
a cos nx
a 2 + n 2 , 0 < x < π,
e
ax =
2
π
+∞
n=1
(1 − (−1)
n e
aπ )
n sin nx
a 2 + n 2 , 0 < x < π.
Trouver la somme des séries précédentes lorsque x = 0.
II.5.17. Pour 0 < x < 2π et a = 0, déterminer la somme des séries suivantes :
+∞
n=1
a cos nx
a 2 + n 2 ,
+∞
n=1
n sin nx
a 2 + n 2 .
II.5.18. Montrer que
x
2 =
π 2
3
+ 4
+∞
n=1
(−1)
n cos nx
n 2 , −π x π.
En utilisant cette égalité, prouver que
+∞
n=1
1
n 2 =
π 2
6
et
+∞
n=1
(−1) n+1
n 2
=
π 2
12
.
II.5.19. Soit f ∈ L 1 [−π , π] et a n , b n les coefficients de Fourier de f . Prouver
que
(a) si f (x + π) = f (x) pour x ∈ [−π , 0], alors a 2n−1 = b 2n−1 = 0,
(b) si f (x + π) = −f (x) pour x ∈ [−π , 0], alors a 2n = b 2n = 0.
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