Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.5.8. Soit f une fonction 2π-périodique sur R et intégrable sur [−π , π]. Montrer que si s n représente la n-ième somme partielle de la série de Fourier de f ,
alors
s n (x) =
1
π
π
0
(f (x + t) + f (x − t))
sin
n +
1
2
t
2 sin
1
2 t
dt.
II.5.9. Prouver le test de Dini-Lipschitz pour la convergence des séries de Fourier . Soit f une fonction 2π-périodique sur R, intégrable sur [−π , π]. Si f vérifie
la condition |f (x 0 + t) − f (x 0 )| L |t|
α pour |t| < δ et L et δ strictement positifs,
0 < α 1, alors la série de Fourier de f converge en x 0 vers f (x 0 ).
II.5.10. Prouver le test de Dirichlet-Jordan pour la convergence des séries de
Fourier . Soit f une fonction 2π-périodique sur R, intégrable sur [−π , π] et à
variation bornée sur [x 0 − δ, x 0 + δ]. Prouver que la série de Fourier de f converge
en x 0 vers
1
2
f
x
+
0
+ f
x
−
0
.
II.5.11. Montrer sur un exemple que le test de Dirichlet-Jordan n’inclut pas
le test de Dini-Lipschitz et que le test de Dini-Lipschitz n’inclut pas le test de
Dirichlet-Jordan.
II.5.12. Montrer que
π − x
2
=
+∞
n=1
sin nx
n
(0 < x < 2π)
et en déduire
π
4
=
+∞
n=1
sin(2n − 1)x
2n − 1
,
0 < x < π,
π
4
= 1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+ · · · ,
π
2
√
3
= 1 −
1
5
+
1
7
−
1
11
+
1
13
− · · ·
II.5.13. Pour x ∈ ]0 , 2π[, trouver la somme des séries suivantes :
+∞
n=1
cos nx
n 2
et
+∞
n=1
sin nx
n 3 .
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