Énoncés
II.5.1. Prouver que si ρ n =
a 2
n + b 2
n , alors
+∞
n=1
(a n cos nx + b n sin nx) =
+∞
n=1
ρ n sin(nx + α n ),
pour des α n bien choisis.
II.5.2. Prouver que si a n et b n sont les coefficients de Fourier de f ∈ L 1 [−π , π],
alors
lim
n→+∞
a n = lim
n→+∞
b n = 0.
II.5.3. Soit f une fonction 2π-périodique vérifiant une condition de Lipschitz
d’ordre α (0 < α 1), autrement dit, f (x + h) − f (x) = O (|h|
α ) lorsque h tend
vers 0 uniformément par rapport à x. Prouver que si a n et b n sont les coefficients
de Fourier de f , alors
a n = O
n
−α
et b n = O
n
−α
.
II.5.4. Prouver que si f est à variation bornée sur [−π , π], alors
a n = O
n
−1
et b n = O
n
−1
.
II.5.5. Prouver que si f est une fonction 2π-périodique absolument continue sur
[−π , π], alors
a n = o
n
−1
et b n = o
n
−1
.
II.5.6. Prouver que si f est une fonction 2π-périodique et f ∈ C k
R , alors
a n = o
n
−k
et b n = o
n
−k
.
II.5.7. Montrer que pour f ∈ L 1 [−π , π], la n-ième somme partielle de la série
de Fourier de f , soit s n (x) =
1
2 a 0 +
n
k=1
(a k cos kx + b k sin kx), est donnée par
s n (x) =
1
π
π
−π
f (t)
sin
n +
1
2
(t − x)
2 sin
1
2 (t − x)
dt.
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