Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.4.30. Une définition alternative de la continuité approximative est que f est
approximativement continue en x 0 s’il existe un ensemble mesurable A tel que
x 0 soit un point de densité de A et tel que la restriction de f à A soit continue
en x 0 . Démontrer que cette définition est équivalente à celle donnée en II.4.27.
II.4.31. Donner un exemple de fonction bornée f : [0 , 1] −→ R qui n’est pas
Riemann-intégrable mais qui est la dérivée d’une certaine fonction F sur [0 , 1].
II.4.32. Soit f une fonction intégrable sur [a , b]. Pour t ∈ R, on définit
G(t) = m ({x ∈ [a , b] : f (x) < t}) .
Prouver que
b
a
f (x) dx =
+∞
−∞
t d(G(t)),
où
+∞
−∞
td(G(t)) =
0
−∞
td(G(t)) +
+∞
0
td(G(t))
= lim
A→−∞
0
A
td(G(t)) + lim
B→−∞
B
0
td(G(t)).
II.5. Séries de Fourier
Les coefficients de Fourier de f ∈ L 1 [−π , π] sont donnés par
a n =
1
π
π
−π
f (x) cos nx dx, b n =
1
π
π
−π
f (x) sin nx dx.
La série
1
2
a 0 +
+∞
n=1
(a n cos nx + b n sin nx)
est la série de Fourier de f et on écrira
f (x) ∼
1
2
a 0 +
+∞
n=1
(a n cos nx + b n sin nx).
On note s n (x) la n-ième somme partielle de la série de Fourier de f , autrement
dit, s n (x) =
1
2 a 0 +
n
k=1
(a k cos kx + b k sin kx).
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