Énoncés
II.4.23. Prouver que tout point de continuité de f ∈ L 1 [a , b] est un point de
Lebesgue de f .
II.4.24. Prouver que presque tous les points de [a , b] sont des points de Lebesgue
de f ∈ L 1 [a , b].
II.4.25. Prouver que presque tous les points d’un ensemble mesurable A sont
des points de densité de A (voir II.1.40 pour la définition d’un point de densité).
II.4.26. Un ensemble A a une densité extérieure d en x si la limite
lim
h→0 +
m ∗ (A ∩ [x − h, x + h])
2h
existe et est égale à d. Si d = 1, x est appelé un point de densité extérieure de
A et si d = 0, x est appelé un point de dispersion extérieure de A. Prouver la
généralisation suivante du problème précédent. Si A est un ensemble (quelconque,
mesurable ou non), alors presque tous les points de A sont des points de densité
extérieure. L’ensemble A est mesurable si et seulement si presque tous les points
de A c sont des points de dispersion extérieure de A.
II.4.27. Soit f une fonction à valeurs réelles (mesurable ou non) définie sur
[a , b]. Le point x 0 ∈ [a , b] est un point de continuité approximative de f si, pour
tout ε > 0,
lim
h→0
m ∗ ([x 0 − h , x 0 + h] ∩ {x ∈ [a , b] : |f (x) − f (x 0 )| ε})
2h
= 0.
Prouver qu’une fonction à valeurs réelles est mesurable sur [a , b] si et seulement si
presque tous les points de [a , b] sont des points de continuité approximative de f .
II.4.28. Prouver qu’une fonction Lebesgue-intégrable sur [a , b] est approximativement continue en chacun de ses points de Lebesgue. Montrer sur un exemple
que la réciproque est fausse.
II.4.29. Prouver que si f est mesurable et bornée sur [a , b], alors x ∈ ]a , b[
est un point de Lebesgue de f si et seulement si x est un point de continuité
approximative de f .
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