Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.4.16. Une fonction monotone sur [a , b] est dite singulière si f = 0 p.p.
Démontrer que toute fonction croissante est la somme d’une fonction absolument
continue et d’une fonction singulière.
II.4.17. Construire une fonction f strictement croissante, continue et singulière
sur [0 , 1].
II.4.18. Prouver qu’une fonction f définie sur R est de la forme
f (x) =
]−∞,x]
ϕ dm =
x
−∞
ϕ(t) dt,
pour une certaine fonction ϕ intégrable sur R si et seulement si f est absolument
continue sur [−K , K] pour tout K > 0, lim
x→−∞
f (x) = 0 et
V (f ; −∞, +∞) = lim
K→+∞
V (f ; −K, K) < +∞.
II.4.19. Prouver que si f et g sont des fonctions définies sur R vérifiant les
conditions du problème précédent, alors
R
f (t)g
(t) dt +
R
f
(t)g(t) dt =
R
f
(t) dt ×
R
g
(t) dt
= lim
x→+∞
f (x) × lim
x→+∞
g(x).
II.4.20. Soit f ∈ L p [a , b], 1 p < +∞. On pose f (x) = 0 pour x /
∈ [a , b]. Pour
h > 0, on définit f h en posant
f h (x) =
1
2h
x+h
x−h
f (t) dt.
Montrer que f h est continue et f h p f p (comparer avec I.6.34).
II.4.21. Démontrer qu’avec les notations et sous les hypothèses de II.4.20,
lim
h→0
f h − f p = 0.
II.4.22. Soit f ∈ L 1 [a , b] et x ∈ ]a , b[ tel que f (x) = ± ∞. Le point x est appelé
un point de Lebesgue de f si
lim
h→0
1
h
x+h
x
|f (t) − f (x)| dt = 0.
Prouver que si x est un point de Lebesgue de f , alors la fonction F (x) =
x
a f (t) dt
est dérivable en x et F (x) = f (x).
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