Énoncés
II.4.12. Soit g une fonction strictement croissante et absolument continue sur
[a , b] telle que g(a) = c et g(b) = d.
(a) Prouver que pour tout ensemble mesurable E ⊂ [a , b],
m(g(E)) =
E
g
dm.
(b) Si H = {x ∈ [a , b] : g (x) = 0} et A est un sous-ensemble de [c , d] tel que
m(A) = 0, alors g −1 (A) ∩ H est de mesure nulle.
(c) Si B est un sous-ensemble mesurable de [c , d] et H est comme en (b), alors
C = g −1 (B ∩ H) est mesurable et
m(B) =
C
g
dm =
b
a
χ B (g(x))g
(x) dx.
II.4.13. En utilisant le résultat du problème précédent, prouver la formule de
changement de variable pour l’intégrale de Lebesgue. On suppose que g est strictement croissante et absolument continue sur [a , b] avec g(a) = c et g(b) = d. Si
f est intégrable sur [c , d], alors
d
c
f (t) dt =
b
a
f (g(x))g
(x) dx.
II.4.14. Soit f et g deux fonctions intégrables sur [a , b]. On pose
F (x) = α +
x
a
f (t) dt et G(x) = β +
x
a
g(t) dt.
Montrer que
b
a
f (t)G(t) dt +
b
a
F (t)g(t) dt = F (b)G(b) − F (a)G(a).
II.4.15. Démontrer la formule d’intégration par parties pour l’intégrale de Lebesgue et des fonctions absolument continues. Si f et g sont des fonctions absolument continues sur [a , b], alors
b
a
f (t)g
(t) dt +
b
a
f
(t)g(t) dt = f (b)g(b) − f (a)g(a).
233