Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.4.4. On pose
f (x) =
x 2
sin
1
x
si x ∈ ]0 , 1],
0
si x = 0,
et g(x) =
√
x. Prouver que f et g sont absolument continues sur [0 , 1], que la
composée f (g) est absolument continue, mais que la composée g(f ) ne l’est pas.
II.4.5. Montrer que si f et g sont absolument continues et que g est monotone,
alors f (g) est absolument continue.
II.4.6. Prouver qu’une fonction absolument continue f : [a , b] −→ R transforme
(a) les ensembles de mesure nulle en des ensembles de mesure nulle,
(b) les ensembles mesurables en des ensembles mesurables.
II.4.7. Une fonction à variation bornée sur [a , b], a < b, est-elle absolument
continue sur [a , b] ?
II.4.8. Soit f une fonction à valeurs réelles continue sur [a , b]. Pour tout y ∈ R,
on pose A y = {x ∈ [a , b] : f (x) = y}. On définit l’indicatrice de Banach de f en
posant
v(y) =
card A y si A y est fini,
+∞
si A y est infini,
où card A y est le cardinal de l’ensemble A y . Prouver que v est mesurable et
R
v(y) dy = V (f ; a, b).
II.4.9. Démontrer le théorème de Banach et Zarecki suivant. Si f est continue
et à variation bornée sur [a , b] et si f transforme les ensembles de mesure nulle
en des ensembles de mesure nulle, alors f est absolument continue sur [a , b].
II.4.10. Soit f et g des fonctions absolument continues. Prouver que f (g) est
absolument continue si et seulement si elle est à variation bornée.
II.4.11. Soit f une fonction intégrable sur [a , b]. On pose F (x) =
x
a f (t) dt.
Prouver que
V (F ; a, b) =
b
a
|f (t)| dt.
(Comparer avec I.2.21.)
232