Énoncés
II.4. Continuité absolue, dérivation et intégration
Une fonction à valeurs réelles définie sur [a , b] est absolument continue sur
[a , b] si, étant donné ε > 0, il existe δ > 0 tel que
n
k=1
f (x
k ) − f (x k )
< ε
pour toute collection finie {]x k , x
k [} d’intervalles ouverts deux à deux disjoints
de [a , b] vérifiant
n
k=1
(x
k − x k ) < δ.
On ne s’intéressera plus, à partir de maintenant, qu’à des intégrales de
Lebesgue et on écrira
b
a f (x) dx au lieu de
[a,b] f dm. On utilisera les théorèmes suivants.
Théorème 1. Soit f une fonction à valeurs réelles croissante sur [a , b]. La fonction f est dérivable presque partout sur [a , b], sa dérivée f est mesurable et
b
a
f
(x) dx f (b) − f (a).
Théorème 2. Une fonction f définie sur [a , b] est de la forme
f (x) = f (a) +
x
a
g(t) dt
pour une certaine fonction g définie sur [a , b] si et seulement si f est absolument continue sur [a , b]. On a dans ce cas g(x) = f (x) p.p. sur [a , b].
II.4.1. Montrer que si f est absolument continue sur [a , b], elle est alors à variation bornée sur cet intervalle.
II.4.2. Donner un exemple de fonction continue sur [a , b] qui n’est pas absolument continue sur cet intervalle.
II.4.3. Soit
f (x) =
x α sin
1
x β
si x ∈ ]0 , 1],
0
si x = 0.
Montrer que f est absolument continue sur [0 , 1] si 0 < β < α et qu’elle n’est pas
absolument continue si 0 < α β.
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