Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.3.35. Prouver que si m(A) < +∞ et 0 < p 1 < p 2 < +∞, alors
L
p 2 (A) ⊂ L
p 1 (A)
et l’inégalité
f p 1 f p 2 (m(A))
1
p 1
−
1
p 2
est vérifiée pour tout f ∈ L p 2 (A).
II.3.36. Prouver que si f ∈ L p 1 (A) ∩ L p 2 (A) (0 < p 1 < p 2 < +∞) et si
p 1 < r < p 2 , alors f ∈ L r (A) et la fonction ϕ définie par ϕ(r) = ln f
r
r est
convexe sur [p 1 , p 2 ].
II.3.37. Prouver que si f ∈ L 1 [a , b] et f = 0 p.p. sur [a , b], alors
lim
p→0 +
1
b − a
[a,b]
|f |
p dm
1/p
= exp
1
b − a
[a,b]
ln |f | dm
.
II.3.38. Pour t ∈ R, le translaté de f par t est défini par f t (x) = f (x + t). Soit
f une fonction intégrable sur R. Prouver que :
(a)
R f dm =
R f t dm.
(b) Si g est une fonction bornée mesurable, alors
lim
t→0
R
|g(f − f t )| dm = 0.
II.3.39. On suppose que 1 p < +∞ et f ∈ L p (R), autrement dit,
R |f |
p dm < +∞. Prouver que lim
t→0
R |f − f t |
p dm = 0, où f t est le translaté
de f par t défini au problème précédent.
II.3.40. Soit f une fonction mesurable et positive sur un ensemble A tel que
0 < m(A) < +∞. On suppose qu’il existe des réels α et β strictement positifs
tels que
1
m(A)
A
f dm α et
1
m(A)
A
f
2 dm β.
Prouver que si 0 < δ < 1 et A δ = {x ∈ A : f (x) αδ}, alors
m(A δ ) m(A) (1 − δ)
2 α 2
β
.
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