Énoncés
II.3.29. Soit g une fonction vérifiant une condition de Lipschitz sur R. Prouver
que si {f n } est une suite de fonctions mesurables sur [a , b] convergente en mesure
vers f et s’il existe une fonction Lebesgue-intégrable G telle que |f n (x)| G(x),
alors
lim
n→+∞
[a,b]
g(f n ) dm =
[a,b]
g(f ) dm.
II.3.30. On suppose que 1 p < +∞. Soit f une fonction mesurable sur A
telle que |f |
p soit intégrable sur A. Montrer que, étant donné ε > 0, il existe une
fonction continue g s’annulant en dehors d’un intervalle borné telle que
A
|f − g|
p dm < ε.
II.3.31. Soit {f n } une suite de fonctions de L p [a , b], 1 < p < +∞, convergente
presque partout sur [a , b] vers f . On suppose qu’il existe une constante C telle que
f n p C pour tout n ∈ N ∗ . Prouver que, pour tout g dans L q [a , b] et
1
p +
1
q = 1,
lim
n→+∞
[a,b]
f n g dm =
[a,b]
f g dm.
II.3.32. Soit {f n } une suite de fonctions de L p [a, b], 1 p < +∞, convergente
en norme vers f ∈ L p [a, b] et soit {g n } une suite de fonctions mesurables telles
que |g n | C pour tout n ∈ N ∗ et telles que g n tend vers g p.p. Prouver que f n g n
tend vers f g dans L p [a , b].
II.3.33. Prouver que si f est une fonction essentiellement bornée sur [a , b], alors
lim
p→+∞
[a,b]
|f |
p dm
1/p
= f ∞ .
(Comparer avec I.4.41.)
II.3.34. Démontrer l’inégalité de Jensen pour l’intégrale de Lebesgue (voir
aussi I.6.29). Soit f une fonction Lebesgue-intégrable sur [a , b]. Si ϕ est convexe
sur R, alors
ϕ
1
b − a
[a,b]
f dm
1
b − a
[a,b]
ϕ(f ) dm.
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