Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.3.21. Démontrer la version suivante du théorème de convergence dominée
de Lebesgue (voir théorème 3). Soit {f n } une suite de fonctions mesurables
convergente en mesure sur A vers f . S’il existe une fonction g intégrable sur A
telle que |f n (x)| g(x), n ∈ N ∗ , x ∈ A, alors
lim
n→+∞
A
f n dm =
A
f dm.
II.3.22. Prouver que le théorème énoncé en II.3.20 reste vrai si la convergence
est remplacée par la convergence en mesure.
II.3.23. Soit {f n } une suite convergente en mesure vers f sur un ensemble A
de mesure finie telle que |f n (x)| C pour tout x ∈ A, n ∈ N ∗ . Prouver que si g
est continue sur [−C , C], alors
lim
n→+∞
A
g(f n ) dm =
A
g(f ) dm.
II.3.24. Soit {f n } une suite de fonctions définies sur un ensemble A de mesure
finie convergente en mesure sur A vers f . Prouver que
lim
n→+∞
A
sin(f n ) dm =
A
sin(f ) dm.
II.3.25. Soit f ∈ L p [a , b], 1 p < +∞. Prouver que, étant donné ε > 0, il
existe
(i) une fonction simple ϕ telle que
[a,b] |f − ϕ|
p dm < ε,
(ii) une fonction en escalier ψ telle que
[a,b] |f − ψ|
p dm < ε.
II.3.26. Trouver une fonction f mesurable et bornée sur [a , b] telle que
f − ψ ∞ = sup {|f (x) − ψ(x)| : x ∈ [a , b]} 1/2
pour toute fonction en escalier ψ.
II.3.27. Soit f ∈ L p [a , b], 1 p < +∞. Montrer que, étant donné ε > 0, il
existe une fonction continue g telle que
[a,b] |f − g|
p dm < ε.
II.3.28. Montrer sur un exemple que le résultat précédent est faux si p = +∞.
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