Énoncés
II.3.15. Soit {f n } une suite de fonctions à valeurs réelles intégrables sur un
ensemble A de mesure finie. Prouver que si la suite est uniformément convergente
sur A, alors
lim
n→+∞
A
f n dm =
A
lim
n→+∞
f n dm.
II.3.16. Soit {f n } est une suite de fonctions convergente vers f sur A telle que
A |f n |
p dm < +∞ et
A |f |
p dm < +∞ pour 1 p < +∞. Prouver que
lim
n→+∞
A
|f n |
p dm =
A
|f |
p dm
si et seulement si
lim
n→+∞
A
|f n − f |
p dm = 0.
II.3.17. Soit {f n } une suite de fonctions mesurables sur A telles que |f n | g,
où g est une fonction intégrable sur A. Prouver que
A
lim
n→+∞
f n dm lim
n→+∞
A
f n dm lim
n→+∞
A
f n dm
A
lim
n→+∞
f n dm.
II.3.18. On pose f n (x) = nx n−1 − (n + 1)x n , x ∈ ]0, 1[. Prouver que
]0,1[
+∞
n=1
f n dm =
+∞
n=1
]0,1[
f n dm
et
+∞
n=1
]0,1[ |f n | dm = +∞.
II.3.19. Soit {f n } une suite de fonctions mesurables sur A telle que
+∞
n=1
A |f n | dm < +∞. Prouver que
+∞
n=1
f n est intégrable sur A et
A
+∞
n=1
f n dm =
+∞
n=1
A
f n dm.
II.3.20. Les fonctions f n (n ∈ N ∗ ), intégrables sur A, sont équi-intégrables si,
pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour tout B, sous-ensemble mesurable
de A,
B |f n | < ε pour n ∈ N ∗ si m(B) < δ. Prouver que si {f n } est une suite
convergente de fonctions équi-intégrables sur un ensemble A de mesure finie, alors
lim
n→+∞
A
f n dm =
A
lim
n→+∞
f n dm.
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