Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.3.9. Prouver que si {f n } est une suite de fonctions positives et mesurables sur
A telle que lim
n→+∞
A f n dm = 0, alors {f n } converge vers 0 en mesure. Montrer
sur un exemple qu’on ne peut pas remplacer la convergence en mesure par la
convergence p.p.
II.3.10. Pour une suite {f n } de fonctions mesurables sur un ensemble A de
mesure finie, prouver que
lim
n→+∞
A
|f n |
1 + |f n |
= 0
si et seulement si {f n } converge vers 0 en mesure. Montrer sur un exemple qu’on
ne peut pas omettre l’hypothèse m(A) < +∞.
II.3.11. Soit f une fonction positive et mesurable sur un ensemble A de mesure
finie. Prouver que f est Lebesgue-intégrable sur A si et seulement si la série
+∞
k=0
km(A k ), où A k = {x ∈ A : k f (x) < k + 1}, converge.
II.3.12. Soit f une fonction positive et mesurable sur un ensemble A de mesure
finie. Prouver que f est Lebesgue-intégrable sur A si et seulement si la série
+∞
k=0
m(B k ), où B k = {x ∈ A : f (x) k}, converge.
II.3.13. Soit f une fonction positive et intégrable sur un ensemble A de mesure
finie. Pour ε > 0, on définit
S(ε) =
+∞
n=0
nεm(A n ) où A n = {x ∈ A : nε f (x) < (n + 1)ε} .
Montrer que
lim
ε→0
S(ε) =
A
f dm.
II.3.14. Soit {f n } est une suite de fonctions positives, convergente vers f sur
R, telle que lim
n→+∞
R f n dm =
R f dm < +∞. Montrer que, pour tout ensemble
mesurable A,
lim
n→+∞
A
f n dm =
A
f dm.
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