Énoncés
II.3.1. Trouver l’intégrale de Lebesgue de la fonction définie par
f (x) =
x 2 si x ∈ [0 , 1] \ Q,
1
si x ∈ [0 , 1] ∩ Q.
Cette fonction est-elle Riemann-intégrable sur [0 , 1] ?
II.3.2. Soit f la fonction définie sur [0 , 1] comme suit : f (x) = 0 si x est un
élément de l’ensemble de Cantor C et f (x) = n sur chacun des intervalles enlevés
de longueur
1
3 n (voir, par exemple, la solution de I.3.1 (vol. II) pour la définition
de C). Déterminer
[0,1] f dm.
II.3.3. Soit C l’ensemble de Cantor. Déterminer
[0,1] f dm, où
f (x) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
sin(πx) si x ∈
0 ,
1
2
\ C,
cos(πx) si x ∈
1
2 , 1
\ C,
x 2
si x ∈ C.
II.3.4. Prouver que si f est Lebesgue-intégrable sur A, étant donné ε > 0,
il existe alors δ > 0 tel que
B |f | dm < ε pour tout B ⊂ A et m(B) < δ,
dit autrement, l’intégrale de Lebesgue est absolument continue par rapport à la
mesure de Lebesgue.
II.3.5. Montrer que si f est Lebesgue-intégrable sur A et si
A n = {x ∈ A : |f (x)| n} ,
alors lim
n→+∞
n · m(A n ) = 0.
II.3.6. Montrer que si f 0 sur un ensemble A de mesure strictement positive
et
A f dm = 0, alors f = 0 p.p. sur A.
II.3.7. Prouver que si
B f dm = 0 pour tout B, sous-ensemble mesurable de A
tel que m(A) > 0, alors f = 0 p.p. sur A.
II.3.8. Prouver que si f est Lebesgue-intégrable sur A et
A
f dm
=
A
|f | dm,
alors soit f 0 p.p. sur A, soit f 0 p.p. sur A.
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