Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
Soit p ∈ R ∗
+ . Une fonction mesurable f définie sur A appartient à l’espace
L p (A) si
A |f |
p dm < +∞. On écrit dans ce cas f p =
A |f |
p dm
1/p . Dans
le cas où A = [a , b], on écrit f ∈ L p [a , b].
Une fonction mesurable f définie sur A est dite essentiellement bornée si
m
{x ∈ A : |f (x)| > r}
= 0 pour un certain réel r. Dans ce cas, on définit la
borne supérieure essentielle de f par
f ∞ = inf {r : m ({x ∈ A : |f (x)| > r}) = 0} .
L’ensemble E = {x ∈ A : |f (x)| > f ∞ } est de mesure nulle et |f (x)| f ∞
en dehors de E. Donc |f (x)| f ∞ p.p. sur A.
On utilisera les théorèmes suivants :
Théorème 1 (Théorème de convergence monotone de Lebesgue). Soit
{f n }
une suite croissante de fonctions positives mesurables sur A. Si
f (x) = lim
n→+∞
f n (x), x ∈ A, alors
lim
n→+∞
A
f n dm =
A
f dm.
Théorème 2 (Lemme de Fatou). Soit {f n } une suite de fonctions positives mesurables sur A. On a
A
lim
n→+∞
f n dm lim
n→+∞
A
f n dm.
Théorème 3 (Théorème de convergence dominée de Lebesgue). Soit {f n } une
suite de fonctions mesurables sur A et f (x) = lim
n→+∞
f n (x), x ∈ A. S’il existe
une fonction g intégrable sur A telle que |f n (x)| g(x) pour tout n et pour
tout x ∈ A, alors
lim
n→+∞
A
f n dm =
A
f dm.
Théorème 4. Si f est Riemann-intégrable sur [a , b], alors f est Lebesgueintégrable et
b
a
f (x) dx =
[a,b]
f dm.
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