Énoncés
II.2.35. Démontrer le théorème de Riesz suivant. Toute suite {f n } convergente
en mesure vers f sur A contient une sous-suite convergente vers f p.p. sur A.
II.2.36. Soit {f n } une suite croissante de fonctions définies sur ]a , b[. Prouver
que si la suite converge en mesure vers f , alors lim
n→+∞
f n (x) = f (x) en tout point
x où f est continue.
II.2.37. Démontrer le théorème de Fréchet suivant. Si f est une fonction mesurable à valeurs réelles définie sur A, il existe alors un F σ -ensemble H tel que
m(A \ H) = 0 et la restriction de f à H appartient à la première classe de Baire
(f est la limite simple d’une suite de fonctions continues sur H).
II.2.38. Démontrer le théorème de Vitali suivant. Si f est une fonction mesurable à valeurs réelles définie sur A, il existe alors une fonction g appartenant à la
seconde classe de Baire (g est la limite simple d’une suite de fonctions appartenant
à la première classe de Baire sur A) telle que f = g p.p.
II.3. Intégrale de Lebesgue
L’intégrale de Lebesgue d’une fonction simple ϕ(x) =
n
i=1
c i χ A i (x) sur A,
où A =
n
i=1
A i et les A i sont des ensembles deux à deux disjoints et mesurables,
est définie par
A
ϕ dm =
n
i=1
c i m(A i ).
Si f est mesurable et positive sur A, on définit
A
f dm = sup
A
ϕ dm,
où la borne supérieure est prise sur toutes les fonctions simples ϕ pour lesquelles 0 ϕ f . La fonction f est dite intégrable (ou sommable) au sens de
Lebesgue sur A si son intégrale sur A est finie. Si f est mesurable sur A, on
définit
A
f dm =
A
f
+ dm −
A
f
− dm,
où f + = max {f, 0} et f − = − min {f, 0}. On dit que f est intégrable sur A
si f + et f − le sont.
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