Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.2.26. Construire une suite {f n } de fonctions mesurables sur [0 , 1] telle que
la suite converge partout sur [0 , 1] et telle que, pour tout ensemble B ⊂ [0 , 1] de
mesure 1, la convergence ne soit pas uniforme sur B.
II.2.27. Démontrer le théorème de Lusin suivant. Pour qu’une fonction à valeurs
réelles f définie sur un ensemble mesurable A soit mesurable, il faut et il suffit
que, pour tout ε > 0, il existe un ensemble fermé F ⊂ A tel que m(A \ F) < ε et
la restriction de f à F soit continue.
II.2.28. En utilisant le résultat de II.1.38, construire une fonction f mesurable
sur R telle que f soit discontinue en tout point de R \ E pour tout ensemble E de
mesure nulle.
II.2.29. Soit f : [0 , a] −→ R une fonction mesurable. Prouver qu’il existe une
fonction g décroissante sur [0 , a] telle que, pour tout réel y,
m ({x ∈ [0 , a] : f (x) > y}) = m ({x ∈ [0 , a] : g(x) > y}) .
II.2.30. Soit {f n } une suite de fonctions à valeurs réelles mesurables sur A.
On dit que {f n } converge en mesure vers une fonction mesurable f si, pour tout
ε > 0, lim
n→+∞
m ({x ∈ A : |f n (x) − f (x)| > ε}) = 0. Prouver que si une suite {f n }
converge en mesure vers f et si {f n } converge en mesure vers g, alors f = g p.p.
sur A.
II.2.31. Démontrer le théorème de Lebesgue suivant. Si m(A) < +∞ et {f n }
converge vers f p.p. sur A, alors {f n } converge en mesure vers f .
II.2.32. Montrer sur un exemple que l’hypothèse m(A) < +∞ est essentielle
dans le théorème de Lebesgue énoncé précédemment.
II.2.33. Donner un exemple d’une suite de fonctions mesurables sur l’intervalle
[0 , 1] convergente en mesure sur [0 , 1] mais qui ne converge en aucun point de cet
intervalle.
II.2.34. Soit {f n } la suite de fonctions définie dans la solution du problème
précédent. Donner une sous-suite de cette suite qui converge vers la fonction nulle
p.p. sur [0 , 1].
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II.2.26. Construire une suite {f n } de fonctions mesurables sur [0 , 1] telle que
la suite converge partout sur [0 , 1] et telle que, pour tout ensemble B ⊂ [0 , 1] de
mesure 1, la convergence ne soit pas uniforme sur B.
II.2.27. Démontrer le théorème de Lusin suivant. Pour qu’une fonction à valeurs
réelles f définie sur un ensemble mesurable A soit mesurable, il faut et il suffit
que, pour tout ε > 0, il existe un ensemble fermé F ⊂ A tel que m(A \ F) < ε et
la restriction de f à F soit continue.
II.2.28. En utilisant le résultat de II.1.38, construire une fonction f mesurable
sur R telle que f soit discontinue en tout point de R \ E pour tout ensemble E de
mesure nulle.
II.2.29. Soit f : [0 , a] −→ R une fonction mesurable. Prouver qu’il existe une
fonction g décroissante sur [0 , a] telle que, pour tout réel y,
m ({x ∈ [0 , a] : f (x) > y}) = m ({x ∈ [0 , a] : g(x) > y}) .
II.2.30. Soit {f n } une suite de fonctions à valeurs réelles mesurables sur A.
On dit que {f n } converge en mesure vers une fonction mesurable f si, pour tout
ε > 0, lim
n→+∞
m ({x ∈ A : |f n (x) − f (x)| > ε}) = 0. Prouver que si une suite {f n }
converge en mesure vers f et si {f n } converge en mesure vers g, alors f = g p.p.
sur A.
II.2.31. Démontrer le théorème de Lebesgue suivant. Si m(A) < +∞ et {f n }
converge vers f p.p. sur A, alors {f n } converge en mesure vers f .
II.2.32. Montrer sur un exemple que l’hypothèse m(A) < +∞ est essentielle
dans le théorème de Lebesgue énoncé précédemment.
II.2.33. Donner un exemple d’une suite de fonctions mesurables sur l’intervalle
[0 , 1] convergente en mesure sur [0 , 1] mais qui ne converge en aucun point de cet
intervalle.
II.2.34. Soit {f n } la suite de fonctions définie dans la solution du problème
précédent. Donner une sous-suite de cette suite qui converge vers la fonction nulle
p.p. sur [0 , 1].
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