Énoncés
II.2.18. Soit g une fonction à valeurs réelles mesurable sur A et f une fonction
définie sur R telle que, pour tout ensemble ouvert G, son image réciproque f −1 (G)
est un borélien. Prouver que f ◦ g est mesurable.
II.2.19. Donner un exemple de fonction mesurable dont la fonction réciproque
n’est pas mesurable.
II.2.20. Soit f une fonction dérivable sur [a , b]. Démontrer que f est mesurable
sur [a , b].
II.2.21. Soit A ⊂ R un ensemble mesurable de mesure finie et f une fonction
mesurable sur A à valeurs finies presque partout. Étant donné ε > 0, il existe
alors un ensemble mesurable B ⊂ A tel que m(A \ B) < ε et la restriction de f
à B est bornée.
II.2.22. Démontrer le théorème d’Egorov . Soit A ⊂ R un ensemble mesurable
de mesure finie. Si {f n } est une suite de fonctions mesurables qui converge vers
une fonction à valeurs réelles f presque partout sur A, étant donné ε > 0, il existe
alors un sous-ensemble mesurable B de A tel que m(A \ B) < ε et la suite {f n }
converge uniformément vers f sur B.
II.2.23. Montrer sur un exemple que l’hypothèse m(A) < +∞ est essentielle
dans le théorème d’Egorov.
II.2.24. On suppose que A est mesurable et que {f n } est une suite de fonctions
mesurables convergente vers f presque partout sur A. Montrer qu’il existe un
ensemble B ⊂ A tel que B =
+∞
i=1
B i , m(A \ B) = 0 et la suite {f n } converge
uniformément vers f sur chaque B i .
II.2.25. Soit {V n } la suite d’ensembles définie dans la solution de II.1.45 et
soit {f n } la suite de fonctions définies sur [0 , 1[ par f n = χ +∞
i=n
V i
. Démontrer que
f n tend vers 0 sur [0 , 1[ mais que l’assertion du théorème d’Egorov (voir II.2.22)
n’est pas vérifiée, autrement dit qu’il existe ε > 0 tel que la convergence n’est uniforme sur aucun sous-ensemble mesurable B de [0 , 1[ vérifiant m ([0, 1[ \ B) < ε.
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II.2.18. Soit g une fonction à valeurs réelles mesurable sur A et f une fonction
définie sur R telle que, pour tout ensemble ouvert G, son image réciproque f −1 (G)
est un borélien. Prouver que f ◦ g est mesurable.
II.2.19. Donner un exemple de fonction mesurable dont la fonction réciproque
n’est pas mesurable.
II.2.20. Soit f une fonction dérivable sur [a , b]. Démontrer que f est mesurable
sur [a , b].
II.2.21. Soit A ⊂ R un ensemble mesurable de mesure finie et f une fonction
mesurable sur A à valeurs finies presque partout. Étant donné ε > 0, il existe
alors un ensemble mesurable B ⊂ A tel que m(A \ B) < ε et la restriction de f
à B est bornée.
II.2.22. Démontrer le théorème d’Egorov . Soit A ⊂ R un ensemble mesurable
de mesure finie. Si {f n } est une suite de fonctions mesurables qui converge vers
une fonction à valeurs réelles f presque partout sur A, étant donné ε > 0, il existe
alors un sous-ensemble mesurable B de A tel que m(A \ B) < ε et la suite {f n }
converge uniformément vers f sur B.
II.2.23. Montrer sur un exemple que l’hypothèse m(A) < +∞ est essentielle
dans le théorème d’Egorov.
II.2.24. On suppose que A est mesurable et que {f n } est une suite de fonctions
mesurables convergente vers f presque partout sur A. Montrer qu’il existe un
ensemble B ⊂ A tel que B =
+∞
i=1
B i , m(A \ B) = 0 et la suite {f n } converge
uniformément vers f sur chaque B i .
II.2.25. Soit {V n } la suite d’ensembles définie dans la solution de II.1.45 et
soit {f n } la suite de fonctions définies sur [0 , 1[ par f n = χ +∞
i=n
V i
. Démontrer que
f n tend vers 0 sur [0 , 1[ mais que l’assertion du théorème d’Egorov (voir II.2.22)
n’est pas vérifiée, autrement dit qu’il existe ε > 0 tel que la convergence n’est uniforme sur aucun sous-ensemble mesurable B de [0 , 1[ vérifiant m ([0, 1[ \ B) < ε.
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