Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.2.10. Montrer que toute fonction à variation bornée sur [a, b] est mesurable.
II.2.11. On définit la fonction de Cantor ϕ : [0 , 1] −→ [0 , 1] comme suit : si x
est un élément de l’ensemble de Cantor C et x =
+∞
n=1
an
3 n , avec a n = 0 ou a n = 2,
on pose
ϕ(x) = ϕ
+∞
n=1
a n
3 n
=
+∞
n=1
1
2 n ·
a n
2
,
autrement dit, si a n est le n-ième chiffre de l’écriture ternaire de x, alors le n-ième
chiffre de l’écriture binaire de ϕ(x) est
an
2 . On prolonge ϕ à [0 , 1] en posant
ϕ(x) = sup {ϕ(y) : y ∈ C, y < x} .
Prouver que l’image de l’ensemble de Cantor C par ϕ est [0 , 1]. Prouver aussi que
ϕ est croissante et continue sur [0 , 1] et ϕ (x) = 0 p.p. sur [0 , 1].
II.2.12. Démontrer que si f est une application continue et bijective de R sur R,
alors l’image par f de tout borélien est un borélien.
II.2.13. Donner un exemple pour chacun des cas suivants :
(a) une fonction mesurable f et un ensemble mesurable A tels que f (A) ne soit
pas mesurable ;
(b) une fonction mesurable g et un ensemble mesurable B tels que g −1 (B) ne
soit pas mesurable.
II.2.14. Donner un exemple d’ensemble mesurable qui ne soit pas borélien.
II.2.15. Soit f une fonction continue sur [a , b]. Montrer que f vérifie la condition
E ⊂ [a , b] et m(E) = 0 implique m(f (E)) = 0
si et seulement si, pour tout ensemble mesurable A ⊂ [a , b], son image f (A) est
mesurable.
II.2.16. Soit g une fonction à valeurs réelles définie et mesurable sur A et f une
fonction continue sur g(A). Prouver que f ◦ g est mesurable.
II.2.17. Soit g une fonction continue sur [a, b] et h une fonction à valeurs réelles
mesurable sur g ([a, b]). La composée h ◦ g est-elle mesurable ?
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