Énoncés
Théorème 4. Pour toute fonction mesurable f définie sur un ensemble mesurable A, il existe une suite {ϕ n } de fonctions simples qui converge simplement
vers f . Dans le cas où f est positive, on peut construire la suite {ϕ n } de sorte
qu’elle soit croissante. Dans le cas où f est bornée sur A, on peut choisir la
suite {ϕ n } de sorte que la convergence soit uniforme sur A.
II.2.1. Montrer que si f est mesurable, il en est de même de |f |. La mesurabilité
de |f | implique-t-elle celle de f ?
II.2.2. Donner des exemples de fonctions f et g non mesurables telles que
(a) f + g soit mesurable,
(b) f g soit mesurable.
II.2.3. Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur R. Prouver que la mesurabilité de l’ensemble {x : f (x) = c} pour tout réel c n’est pas suffisante pour que
f soit mesurable.
II.2.4. Soit C un sous-ensemble dense de R. Prouver qu’une fonction f définie
sur un ensemble mesurable A est mesurable si et seulement si {x ∈ A : f (x) c}
est mesurable pour tout c ∈ C.
II.2.5. Prouver qu’une fonction f à valeurs réelles définie sur un ensemble mesurable A est mesurable si et seulement si f −1 (G) est mesurable pour tout ouvert
G ⊂ R.
II.2.6. Prouver que si une fonction à valeurs réelles définie sur R est mesurable,
alors f −1 (B) est mesurable pour tout borélien B ⊂ R.
II.2.7. Prouver qu’une fonction continue à valeurs réelles définie sur un ensemble
mesurable est mesurable.
II.2.8. Soit f et g des fonctions définies sur un ensemble mesurable A à valeurs
dans R. Prouver que si f est une fonction mesurable et si f = g p.p., alors g est
mesurable.
II.2.9. Montrer que toute fonction Riemann-intégrable définie sur [a, b] est mesurable sur [a, b].
219