Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
Théorème 1. Les énoncés suivants sont équivalents :
(i) f est Lebesgue-mesurable sur A.
(ii) f −1 ([c , +∞]) = {x ∈ A : f (x) c} est un sous-ensemble Lebesguemesurable de A pour tout réel c.
(iii) f −1 ([−∞ , c[) = {x ∈ A : f (x) < c} est un sous-ensemble Lebesguemesurable de A pour tout réel c.
(iv) f −1 ([−∞ , c]) = {x ∈ A : f (x) c} est un sous-ensemble Lebesguemesurable de A pour tout réel c.
On utilisera aussi les théorèmes suivants :
Théorème 2. Soit f et g deux fonctions mesurables à valeurs réelles définies sur
A, soit F une fonction à valeurs réelles continue sur R 2 . Pour x ∈ A on pose
h(x) = F (f (x), g(x)). La fonction h est alors mesurable sur A. En particulier,
f + g et f g sont mesurables.
Théorème 3. Soit {f n } une suite de fonctions mesurables sur A. Alors
h 1 (x) = sup {f n (x) : n ∈ N} et h 2 (x) = lim
n→+∞
f n (x)
sont aussi mesurables sur A. En particulier, si f et g sont mesurables sur A,
il en est de même de max {f, g} et min {f, g}.
Une propriété est dite vérifiée presque partout (en abrégé p.p.) sur un ensemble mesurable si l’ensemble des points où elle n’est pas vérifiée est de mesure
nulle. En particulier, on dit que f = g p.p. si f et g sont définies sur le même
ensemble A et m ({x ∈ A : f (x) = g(x)}) = 0.
Supposons que A =
n
i=1
A i , où les ensembles A i sont mesurables et deux à
deux disjoints. Une fonction ϕ définie sur A par
ϕ(x) =
n
i=1
c i χ A i (x),
où c 1 , c 2 , . . . , c n sont des réels, est appelée une fonction simple.
Le théorème suivant est appelé le théorème d’approximation des fonctions
mesurables.
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