Énoncés
II.1.51. Prouver que si A est un ensemble mesurable de mesure strictement
positive, il existe alors δ > 0 tel que A ∩ (A + x) soit non vide dès que |x| < δ.
II.1.52. Soit V k (k ∈ N) les ensembles définis dans la solution de II.1.45.
Prouver qu’aucun des ensembles A n =
n
k=0
V k n’est mesurable.
II.1.53. Soit A ⊂ R un ensemble mesurable pour lequel il existe c strictement
positif tel que m(A ∩ I) c |I| pour tout intervalle I. Prouver que le complémentaire de A est de mesure nulle.
II.1.54. Montrer qu’il existe un ensemble A ⊂ R tel que chaque ensemble
Lebesgue-mesurable inclus dans A ou dans A c est de mesure de Lebesgue nulle.
II.1.55. Démontrer le critère de Lebesgue d’intégrabilité au sens de Riemann.
Une fonction bornée sur un intervalle fermé et borné est Riemann-intégrable si et
seulement si l’ensemble des discontinuités de f est de mesure de Lebesgue nulle.
II.1.56. Soit f : [a , b] −→ R, on note D l’ensemble des discontinuités de f et
L l’ensemble des points où f admet une limite à gauche. Prouver que D ∩ L est
dénombrable. En déduire le critère intégrabilité au sens de Riemann suivant : une
fonction bornée sur [a , b] est Riemann-intégrable si et seulement si l’ensemble
[a , b] \ L est de mesure de Lebesgue nulle.
II.1.57. Soit f : [0 , 1] −→ R une fonction continue telle que f (0) = f (1) = 0.
Montrer que la mesure de Lebesgue de
A = {h ∈ [0 , 1] : f (x + h) = f (x) pour un certain x ∈ [0 , 1]}
est au moins égale à
1
2 .
II.2. Fonctions mesurables au sens de Lebesgue
Une fonction f : A −→
R définie sur un ensemble mesurable A ⊂ R est dite Lebesgue-mesurable (ou mesurable) sur A si
f −1 (]c , +∞]) = {x ∈ A : f (x) > c} est un sous-ensemble Lebesgue-mesurable
de A pour tout réel c. On a :
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II.1.51. Prouver que si A est un ensemble mesurable de mesure strictement
positive, il existe alors δ > 0 tel que A ∩ (A + x) soit non vide dès que |x| < δ.
II.1.52. Soit V k (k ∈ N) les ensembles définis dans la solution de II.1.45.
Prouver qu’aucun des ensembles A n =
n
k=0
V k n’est mesurable.
II.1.53. Soit A ⊂ R un ensemble mesurable pour lequel il existe c strictement
positif tel que m(A ∩ I) c |I| pour tout intervalle I. Prouver que le complémentaire de A est de mesure nulle.
II.1.54. Montrer qu’il existe un ensemble A ⊂ R tel que chaque ensemble
Lebesgue-mesurable inclus dans A ou dans A c est de mesure de Lebesgue nulle.
II.1.55. Démontrer le critère de Lebesgue d’intégrabilité au sens de Riemann.
Une fonction bornée sur un intervalle fermé et borné est Riemann-intégrable si et
seulement si l’ensemble des discontinuités de f est de mesure de Lebesgue nulle.
II.1.56. Soit f : [a , b] −→ R, on note D l’ensemble des discontinuités de f et
L l’ensemble des points où f admet une limite à gauche. Prouver que D ∩ L est
dénombrable. En déduire le critère intégrabilité au sens de Riemann suivant : une
fonction bornée sur [a , b] est Riemann-intégrable si et seulement si l’ensemble
[a , b] \ L est de mesure de Lebesgue nulle.
II.1.57. Soit f : [0 , 1] −→ R une fonction continue telle que f (0) = f (1) = 0.
Montrer que la mesure de Lebesgue de
A = {h ∈ [0 , 1] : f (x + h) = f (x) pour un certain x ∈ [0 , 1]}
est au moins égale à
1
2 .
II.2. Fonctions mesurables au sens de Lebesgue
Une fonction f : A −→
R définie sur un ensemble mesurable A ⊂ R est dite Lebesgue-mesurable (ou mesurable) sur A si
f −1 (]c , +∞]) = {x ∈ A : f (x) > c} est un sous-ensemble Lebesgue-mesurable
de A pour tout réel c. On a :
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