Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.1.43. Si x et y appartiennent à [0 , 1[, on définit la somme x + y (mod 1)
comme étant x + y si x + y < 1 et x + y − 1 si x + y 1. Pour A ⊂ [0 , 1[ et
a ∈ [0 , 1[, on définit le translaté modulo 1 de A comme étant l’ensemble
A + a (mod1) = {x + a (mod1) : x ∈ A}.
Montrer que m ∗ (A) = m ∗ (A + a (mod1)).
II.1.44. Prouver que si A ⊂ [0 , 1[ et a ∈ [0 , 1[, alors l’ensemble A + a (mod1)
est mesurable si et seulement si A est mesurable et
m(A) = m (A + a (mod1)) .
II.1.45. On dit que x et y sont équivalents et on note x ∼ y si et seulement si
x− y est rationnel. Cette relation d’équivalence divise [0 , 1[ en une famille non dénombrable de classes d’équivalence disjointes. D’après l’axiome du choix, il existe
un ensemble V contenant exactement un élément de chaque classe d’équivalence.
On appelle un tel ensemble un ensemble de Vitali . Prouver qu’un ensemble de
Vitali n’est pas mesurable.
II.1.46. Montrer que si A est un sous-ensemble mesurable d’un ensemble de
Vitali V, alors m(A) = 0.
II.1.47. Montrer sur un exemple que la réciproque du résultat énoncé en II.1.17
est fausse. Autrement dit, il existe des ensembles A et B tels que
m ∗ (A ∪ B) = m ∗ (A) + m ∗ (B) et m
∗ (A ∪ B) < m
∗ (A) + m
∗ (B).
II.1.48. Prouver que tout ensemble de mesure extérieure strictement positive
contient un sous-ensemble non mesurable.
II.1.49. Donner un exemple de suite {A n } d’ensembles deux à deux disjoints
telle que
m
∗
+∞
n=1
A n
<
+∞
n=1
m
∗ (A n ).
II.1.50. Donner un exemple de suite décroissante {A n } d’ensembles telle que
m ∗ (A 1 ) < +∞ et
m
∗
+∞
n=1
A n
< lim
n→+∞
m
∗ (A n ).
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