Énoncés
II.1.34. Soit A ⊂ R un ensemble nulle part dense de mesure de Lebesgue nulle.
Son adhérence doit-elle être de mesure de Lebesgue nulle ?
II.1.35. Prouver que si A ⊂ [a , b] et m(A) > 0, il existe x et y dans A tels que
|x − y| soit irrationnel.
II.1.36. Existe-t-il une collection dénombrable de sous-ensembles de [0 , 1], nulle
part denses et parfaits, dont l’union soit de mesure de Lebesgue égale à 1 ?
II.1.37. Existe-t-il un sous-ensemble de [0 , 1] nulle part dense et parfait de
mesure de Lebesgue égale à 1 ?
II.1.38. Donner un exemple d’ensemble mesurable A ⊂ R ayant la propriété
suivante : pour tout intervalle ]α , β[,
m
A ∩ ]α , β[
> 0 et m
(R \ A) ∩ ]α , β[
> 0.
II.1.39. Soit A ⊂ R un ensemble mesurable vérifiant la propriété : pour tout
δ > 0, m
A ∩ ]−δ , δ[
> 0 et 0 ∈ A. Montrer qu’il existe un ensemble parfait
B ⊂ A tel que m
B ∩ ]−δ , δ[
> 0 pour tout δ > 0.
II.1.40. Un ensemble mesurable A ⊂ R est dit de densité d en x si la limite
lim
h→0 +
m(A ∩ [x − h , x + h])
2h
existe et est égale à d. Si d = 1, x est appelé un point de densité de A et si d = 0,
x est appelé un point de dispersion de A. Déterminer les points de densité et les
points de dispersion de A = ]−1 , 0[ ∪ ]0 , 1[ ∪ {2}.
II.1.41. Étant donné α ∈ ]0 , 1[, construire un ensemble A dont la densité en
x 0 ∈ R est égale α.
II.1.42. Soit A un ensemble mesurable tel que 0 ∈ A soit un point de densité
de A. Prouver qu’il existe un ensemble parfait B ⊂ A tel que 0 soit un point de
densité de B.
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