Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.1.24. Soit B ⊂ R l’ensemble des nombres dont l’écriture décimale ne nécessite
pas l’utilisation du chiffre 7 après la virgule. Montrer que B est de mesure de
Lebesgue nulle.
II.1.25. Soit A l’ensemble des points de [0 , 1] qui admettent une écriture binaire
avec des 0 à chaque position paire. Montrer que A est un ensemble nulle part
dense (1) de mesure de Lebesgue nulle.
II.1.26. Trouver la mesure de Lebesgue de l’ensemble des points de [0 , 1] qui
admettent une écriture décimale contenant tous les chiffres 1, 2, . . . , 9.
II.1.27. Quelle est la mesure de Lebesgue de l’ensemble des points de [0 , 1] qui
admettent une écriture décimale 0, d 1 d 2 d 3 . . . telle qu’aucune suite d 3k+1 d 3k+2
d 3k+3 ne soit formée de trois 2 consécutifs ?
II.1.28. Soit A l’union des intervalles centrés aux points de l’ensemble de Cantor
et de longueur 0,1. Trouver la mesure de Lebesgue de A.
II.1.29. Prouver que si A est un ensemble borné et mesurable de mesure
m(A) = p > 0, il existe alors un ensemble mesurable B ⊂ A de mesure q pour
tout q ∈ ]0 , p[.
II.1.30. Prouver que si 0 < m(A) +∞, il existe alors un ensemble mesurable
B ⊂ A de mesure q pour tout q strictement positif tel que q < m(A).
II.1.31. Montrer que si 0 < m(A) +∞, il existe alors un ensemble parfait (2)
B ⊂ A de mesure q pour tout q strictement positif tel que q < m(A).
II.1.32. Démontrer que tout ensemble A de mesure de Lebesgue strictement
positive a la puissance du continu.
II.1.33. Prouver que tout ensemble fermé et non vide A ⊂ R de mesure de
Lebesgue nulle est nulle part dense.
(1) Un sous-ensemble A de X est nulle part dense si l’intérieur de son adhérence dans X est vide.
(N.d.T.)
(2) Un ensemble est parfait s’il coïncide avec l’ensemble de ses points d’accumulation, dit autrement, s’il est fermé et sans points isolés. (N.d.T.)
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II.1.24. Soit B ⊂ R l’ensemble des nombres dont l’écriture décimale ne nécessite
pas l’utilisation du chiffre 7 après la virgule. Montrer que B est de mesure de
Lebesgue nulle.
II.1.25. Soit A l’ensemble des points de [0 , 1] qui admettent une écriture binaire
avec des 0 à chaque position paire. Montrer que A est un ensemble nulle part
dense (1) de mesure de Lebesgue nulle.
II.1.26. Trouver la mesure de Lebesgue de l’ensemble des points de [0 , 1] qui
admettent une écriture décimale contenant tous les chiffres 1, 2, . . . , 9.
II.1.27. Quelle est la mesure de Lebesgue de l’ensemble des points de [0 , 1] qui
admettent une écriture décimale 0, d 1 d 2 d 3 . . . telle qu’aucune suite d 3k+1 d 3k+2
d 3k+3 ne soit formée de trois 2 consécutifs ?
II.1.28. Soit A l’union des intervalles centrés aux points de l’ensemble de Cantor
et de longueur 0,1. Trouver la mesure de Lebesgue de A.
II.1.29. Prouver que si A est un ensemble borné et mesurable de mesure
m(A) = p > 0, il existe alors un ensemble mesurable B ⊂ A de mesure q pour
tout q ∈ ]0 , p[.
II.1.30. Prouver que si 0 < m(A) +∞, il existe alors un ensemble mesurable
B ⊂ A de mesure q pour tout q strictement positif tel que q < m(A).
II.1.31. Montrer que si 0 < m(A) +∞, il existe alors un ensemble parfait (2)
B ⊂ A de mesure q pour tout q strictement positif tel que q < m(A).
II.1.32. Démontrer que tout ensemble A de mesure de Lebesgue strictement
positive a la puissance du continu.
II.1.33. Prouver que tout ensemble fermé et non vide A ⊂ R de mesure de
Lebesgue nulle est nulle part dense.
(1) Un sous-ensemble A de X est nulle part dense si l’intérieur de son adhérence dans X est vide.
(N.d.T.)
(2) Un ensemble est parfait s’il coïncide avec l’ensemble de ses points d’accumulation, dit autrement, s’il est fermé et sans points isolés. (N.d.T.)
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