Énoncés
II.1.19. Démontrer que si {A n } est une suite décroissante d’ensembles mesurables et si m(A k ) est finie pour au moins un k, alors
m
+∞
n=1
A n
= lim
n→+∞
m(A n ).
Prouver aussi qu’on ne peut pas omettre l’hypothèse m(A k ) < +∞ pour un
certain k.
II.1.20. On définit, pour une suite {A n } de sous-ensembles de R, la limite supérieure et la limite inférieure de {A n } en posant
lim
n→+∞
A n =
+∞
k=1
+∞
n=k
A n et
lim
n→+∞
A n =
+∞
k=1
+∞
n=k
A n .
(a) Montrer que si A n est mesurable pour tout n ∈ N ∗ , alors
m
lim
n→+∞
A n
lim
n→+∞
m(A n ).
(b) Montrer que si, de plus, m(A n ∪ A n+1 ∪ · · · ) < +∞ pour au moins un n,
alors
m
lim
n→+∞
A n
lim
n→+∞
m(A n ).
II.1.21. On dit que la suite {A n } de sous-ensembles de R converge si
lim
n→+∞
A n = lim
n→+∞
A n et on note la limite commune lim
n→+∞
A n .
(a) Prouver qu’une suite monotone d’ensembles converge.
(b) Prouver que si une suite d’ensembles mesurables {A n } telle que A n ⊂ B et
m ∗ (B) < +∞ converge, alors
m
lim
n→+∞
A n
= lim
n→+∞
m(A n ).
II.1.22. Prouver que la mesure de Lebesgue de l’ensemble défini en I.7.12 est
égale à 1 − α.
II.1.23. Soit A l’ensemble des points de [0 , 1] tels que x ∈ A si et seulement si
l’écriture décimale de x ne nécessite pas l’utilisation du chiffre 7. Montrer que A
est de mesure de Lebesgue nulle.
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