Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
II.1.14. Pour A ⊂ R, on définit la mesure intérieure de Lebesgue m ∗ (A) de A
en posant
m ∗ (A) = sup {m(B) : B ∈ M, B ⊂ A} ,
où M est la σ-algèbre de tous les sous-ensembles mesurables de R. Démontrer :
(a) Si A est mesurable, alors m ∗ (A) = m ∗ (A).
(b) Si A est un sous-ensemble d’un intervalle fermé borné I, alors
m ∗ (A) = |I| − m
∗ (I \ A).
(c) Si m ∗ (A) = m ∗ (A) < +∞ alors A est mesurable.
(d) Pour tout ensemble A et tout ensemble C,
m ∗ (A ∪ C) + m ∗ (A ∩ C) m ∗ (A) + m ∗ (C).
(e) Si les A n (n ∈ N ∗ ) sont deux à deux disjoints, alors
m ∗
+∞
n=1
A n
+∞
n=1
m ∗ (A n ).
(f) Si M est de mesure nulle, alors m ∗ (A ∪ M) = m ∗ (A).
II.1.15. Prouver que A ⊂ I, I étant un intervalle fermé borné, est mesurable si
et seulement si
|I| = m
∗ (A) + m
∗ (I \ A).
II.1.16. Soit A et B deux ensembles donnés de mesure extérieure finie. Prouver que m ∗ (A ∪ B) = m ∗ (A) + m ∗ (B) si et seulement s’il existe des ensembles
mesurables A 1 et B 1 tels que A ⊂ A 1 , B ⊂ B 1 et m(A 1 ∩ B 1 ) = 0.
II.1.17. Soit A et B deux ensembles de mesure extérieure finie. Prouver que si
m ∗ (A ∪ B) = m ∗ (A) + m ∗ (B), alors m ∗ (A ∪ B) = m ∗ (A) + m ∗ (B).
II.1.18. Démontrer que si {A n } est une suite croissante d’ensembles mesurables,
alors
m
+∞
n=1
A n
= lim
n→+∞
m(A n ).
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