Énoncés
II.1.7. Montrer que si m(A) = 0, on a alors, pour tout B,
m
∗ (A ∪ B) = m
∗ (B \ A) = m
∗ (B).
II.1.8. Prouver que si A est un ensemble mesurable de mesure finie, on a alors,
pour tout B ⊃ A,
m
∗ (B \ A) = m
∗ (B) − m(A).
II.1.9. Prouver que si A et B sont mesurables, alors
m(A ∪ B) + m(A ∩ B) = m(A) + m(B).
II.1.10. Prouver que si m ∗ (A) < +∞ et s’il existe A 1 , sous-ensemble mesurable
de A, tel que m(A 1 ) = m ∗ (A), alors A est mesurable.
II.1.11. Soit A un sous-ensemble de R. Prouver que, pour tout ε > 0, il existe
un ensemble ouvert G tel que A ⊂ G et m(G) < m ∗ (A) + ε. Prouver aussi qu’il
existe un G δ -ensemble A 2 tel que A ⊂ A 2 et m(A 2 ) = m ∗ (A).
II.1.12. Montrer que pour tout A ⊂ R, les énoncés suivants sont équivalents :
(i) A est mesurable.
(ii) Étant donné ε > 0, il existe un ouvert G ⊃ A tel que
m
∗ (G \ A) < ε.
(iii) Il existe un G δ -ensemble U ⊃ A tel que m ∗ (U \ A) = 0.
(iv) Étant donné ε > 0, il existe un fermé F ⊂ A tel que
m
∗ (A \ F) < ε.
(v) Il existe un F σ -ensemble V ⊂ A tel que m ∗ (A \ V) = 0.
II.1.13. Prouver que si m ∗ (A) < +∞, alors A est mesurable si et seulement
si pour tout ε > 0, il existe une union finie W d’intervalles ouverts telle que
m ∗ (WA) < ε où WA est la différence symétrique de W et A, soit WA =
(W \ A) ∪ (A \ W).
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