Chapitre II. L’intégrale de Lebesgue
est vérifiée pour tout ensemble E ⊂ R. La collection M de tous les sousensembles Lebesgue-mesurables de R est une σ-algèbre : le complémentaire
d’un ensemble mesurable est mesurable et l’union d’une collection dénombrable d’ensembles mesurables est mesurable. On rappelle que la collection B
des boréliens est la plus petite σ-algèbre contenant tous les ensembles ouverts
de R. Tous les boréliens sont mesurables. Si A est un ensemble mesurable,
on définit la mesure de Lebesgue m(A) comme étant la mesure extérieure de
A. La mesure m est dénombrablement additive sur M, autrement dit, si les
ensembles A n ⊂ M sont deux à deux disjoints, alors
m
+∞
n=1
A n
=
+∞
n=1
m(A n ).
II.1.1. Démontrer que A est mesurable si m ∗ (A) = 0.
II.1.2. Soit S =
+∞
n=1
I n où les I n (n ∈ N ∗ ) sont des intervalles fermés. Prouver
que m(S) = |S| ∗ où |S| ∗ représente la mesure intérieure de Jordan de S.
II.1.3. Soit S 1 =
+∞
n=1
I n et S 2 =
+∞
n=1
K n , où I n , K n (n ∈ N ∗ ) sont des intervalles
fermés. Prouver que
m(S 1 ∪ S 2 ) + m(S 1 ∩ S 2 ) = m(S 1 ) + m(S 2 ).
II.1.4. Prouver que, quels que soient les ensembles A et B,
m
∗ (A ∪ B) + m
∗ (A ∩ B) m
∗ (A) + m
∗ (B).
II.1.5. L’ensemble G étant un ouvert, soit A et B tels que A ⊂ G et B∩G = ∅.
Prouver que
m
∗ (A ∪ B) = m
∗ (A) + m
∗ (B).
II.1.6. Soit A et B des ensembles séparés par une distance strictement positive,
autrement dit,
d(A, B) = inf {|x − y| : x ∈ A, y ∈ B} > 0.
On a alors
m
∗ (A ∪ B) = m
∗ (A) + m
∗ (B).
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