II
L’INTÉGRALE DE LEBESGUE
Énoncés
II.1. Mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Pour A ⊂ R, on considère une collection dénombrable d’intervalles fermés
{I n } recouvrant A, I n = [a n , b n ], a n b n , autrement dit, A ⊂
+∞
n=1
I n . On
définit la mesure extérieure de Lebesgue m ∗ (A) de A par
m
∗ (A) = inf
+∞
n=1
|I n | = inf
+∞
n=1
(b n − a n ),
où la borne inférieure est prise sur tous les recouvrements dénombrables de
A par des intervalles fermés. Clairement, les intervalles fermés apparaissant
dans la définition de la mesure extérieure de Lebesgue peuvent être remplacés
par des intervalles ouverts ]a n , b n [. La mesure extérieure de Lebesgue a les
propriétés suivantes :
(i) Si A ⊂ B, alors m ∗ (A) m ∗ (B).
(ii) m ∗
+∞
n=1
A n
+∞
n=1
m ∗ (A n ).
Un ensemble A est dit Lebesgue-mesurable (ou mesurable), si la condition de
Carathéodory
m
∗ (E) = m
∗ (E ∩ A) + m
∗ (E \ A)