Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.7.34. L’équation paramétrique de la courbe est
x = f (θ) cos θ, y = f (θ) sin θ, α θ β.
Donc,
L =
β
α
(f (θ)) 2 + (f (θ)) 2 dθ.
I.7.35.
(a) On applique la formule donnée au problème précédent. On a
L = a
3π
0
sin
2 θ
3
dθ =
3πa
2
.
(b) L’équation paramétrique de la courbe est
x =
1
1 + cos θ
cos θ, y =
1
1 + cos θ
sin θ, θ ∈
−
π
2
,
π
2
.
On vérifie facilement que la courbe est l’arc de la parabole y 2 = 1 − 2x,
y ∈ [−1 , 1]. Sa longueur est donc
L =
1
−1
1 + y 2 dy = ln(1 +
√
2) +
√
2.
206
I.7.34. L’équation paramétrique de la courbe est
x = f (θ) cos θ, y = f (θ) sin θ, α θ β.
Donc,
L =
β
α
(f (θ)) 2 + (f (θ)) 2 dθ.
I.7.35.
(a) On applique la formule donnée au problème précédent. On a
L = a
3π
0
sin
2 θ
3
dθ =
3πa
2
.
(b) L’équation paramétrique de la courbe est
x =
1
1 + cos θ
cos θ, y =
1
1 + cos θ
sin θ, θ ∈
−
π
2
,
π
2
.
On vérifie facilement que la courbe est l’arc de la parabole y 2 = 1 − 2x,
y ∈ [−1 , 1]. Sa longueur est donc
L =
1
−1
1 + y 2 dy = ln(1 +
√
2) +
√
2.
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