Solutions
Donc,
L =
2π
0
(x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt = 4
π/2
0
a 2 sin
2 t + b 2 cos 2 t dt
= 4
π/4
0
a 2 sin
2 t + b 2 cos 2 t dt + 4
π/2
π/4
a 2 sin
2 t + b 2 cos 2 t dt.
On obtient, en faisant le changement de variable t =
π
2 − s dans la dernière
intégrale,
L = 4
π/4
0
a 2 sin
2 t + b 2 cos 2 t +
a 2 cos 2 t + b 2 sin
2 t
dt.
Des calculs montrent que l’intégrande est une fonction croissante sur
0 ,
π
4
.
L’encadrement cherché s’en déduit.
I.7.33. La longueur de l’ellipse est
L =
2π
0
(x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt = 4
π/2
0
a 2 − (a 2 − b 2 ) cos 2 t dt
= 4a
π/2
0
1 − e 2 cos 2 t dt.
D’après la formule du binôme de Newton (voir, par exemple, III.4.4 (vol. II)),
si |u| < 1, alors
√
1 − u = 1 +
+∞
n=1
(−1)
n
1
2
1
2 − 1
. . .
1
2 − n + 1
n!
u
n
= 1 −
+∞
n=1
(2n − 3)!!
(2n)!!
u
n .
En posant u = e cos t, on obtient
L = 4a
π
2
−
+∞
n=1
(2n − 3)!!
(2n)!!
e
2n
π/2
0
cos
2n t dt
car la série converge uniformément sur
0 ,
π
2
. D’après I.4.1(b), on a
π/2
0
cos
2n t dt =
(2n − 1)!!
(2n)!!
π
2
et le résultat cherché s’en déduit.
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