Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.7.29. Comme dans la solution du problème précédent, on démarre avec
une partition a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b et on considère les rectangles
[x i−1 , x i ] × [0 , m i ] et [x i−1 , x i ] × [0 , M i ], où m i = min {f (x) : x ∈ [x i−1 , x i ]},
M i = max {f (x) : x ∈ [x i−1 , x i ]}. Lorsque l’on fait tourner ces rectangles autour de l’axe des ordonnées, ils balaient des enveloppes cylindriques dont les
volumes sont respectivement πm i
x 2
i − x 2
i−1
et πM i
x 2
i − x 2
i−1
. Puisque l’intégrale de Riemann-Stieltjes π
b
a f (x) d(x 2 ) existe et est égale à 2π
b
a xf (x) dx,
le résultat cherché s’en déduit.
I.7.30. On obtient par symétrie et en utilisant le résultat de I.7.29
|V| = 4π
a+r
a−r
x
r 2 − (x − a) 2 dx
= 4π
a+r
a−r
(x − a)
r 2 − (x − a) 2 dx + 4πa
a+r
a−r
r 2 − (x − a) 2 dx
= 4πa
a+r
a−r
r 2 − (x − a) 2 dx = 2π
2 ar
2 .
I.7.31. Le volume est égal à
|V| =
+∞
k=0
π
(2k+1)π
2kπ
e
−2x sin x dx
=
π
5
+∞
k=0
e
−4kπ
1 + e
−2π
=
π
5 (1 − e −2π )
.
I.7.32. L’équation paramétrique de l’ellipse est
x = a cos t, y = b sin t, 0 t 2π.
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