Solutions
I.7.36. On remarque que si une courbe a pour équation θ = g(r) (a r b)
et si g est continûment dérivable sur [a , b], on peut alors, comme en I.7.34,
en déduire la formule suivante pour sa longueur :
L =
b
a
1 + (rg (r))
2 dr.
La longueur de la courbe est donc donnée par
L =
3
1
1 +
1
2
r −
1
r
2
dr =
1
2
3
1
r +
1
r
dr =
1
2
(ln 3 + 4) .
I.7.37. L’équation paramétrique de la courbe est
x = (1 + cos t) cos
t − tan
t
2
, y = (1 + cos t) sin
t − tan
t
2
,
où t ∈ [0 , β]. Donc,
L =
β
0
(x (t))
2 + (y (t))
2 dt
=
β
0
sin
2 (t) + (1 + cos t)
2
1 −
1
2 cos 2 t
2
2
dt
=
β
0
dt = β.
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I.7.36. On remarque que si une courbe a pour équation θ = g(r) (a r b)
et si g est continûment dérivable sur [a , b], on peut alors, comme en I.7.34,
en déduire la formule suivante pour sa longueur :
L =
b
a
1 + (rg (r))
2 dr.
La longueur de la courbe est donc donnée par
L =
3
1
1 +
1
2
r −
1
r
2
dr =
1
2
3
1
r +
1
r
dr =
1
2
(ln 3 + 4) .
I.7.37. L’équation paramétrique de la courbe est
x = (1 + cos t) cos
t − tan
t
2
, y = (1 + cos t) sin
t − tan
t
2
,
où t ∈ [0 , β]. Donc,
L =
β
0
(x (t))
2 + (y (t))
2 dt
=
β
0
sin
2 (t) + (1 + cos t)
2
1 −
1
2 cos 2 t
2
2
dt
=
β
0
dt = β.
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