Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
L’aire délimitée par la boucle intérieure est donc
|A 1 | =
1
2
θ 2
θ 1
(a + b cos θ)
2 dθ
=
1
2
−3a
b 2 − a 2 +
b
2 + 2a
2
π − Arccos
−a
b
.
Par symétrie, l’aire délimitée par la boucle extérieure du limaçon est
|A 2 | =
θ 1
0
(a + b cos θ)
2 dθ
=
1
2
2a
2 + b
2
Arccos
−a
b
+ 3a
b 2 − a 2
.
I.7.26. Une transformation en coordonnées polaires donne
r
sin
5 θ + cos
5 θ
= 5a sin
2 θ cos
2 θ.
La courbe a une boucle qui correspond aux valeurs de θ comprises entre 0 et
π
2 .
Donc,
|A| =
25
2
a
2
π/2
0
sin
4 θ cos 4 θ
sin
5 θ + cos 5 θ
2 dθ
=
25
2
a
2
π/2
0
tan 4 θ
(1 + tan 5 θ)
2 cos 2 θ
dθ
=
5
2
a
2
+∞
0
5u 4
(1 + u 5 )
2 du =
5
2
a
2
+∞
1
dv
v 2
=
5
2
a
2 .
1
1
2
x
y
x
5
+ y
5
= 5x
2
y
2
202
L’aire délimitée par la boucle intérieure est donc
|A 1 | =
1
2
θ 2
θ 1
(a + b cos θ)
2 dθ
=
1
2
−3a
b 2 − a 2 +
b
2 + 2a
2
π − Arccos
−a
b
.
Par symétrie, l’aire délimitée par la boucle extérieure du limaçon est
|A 2 | =
θ 1
0
(a + b cos θ)
2 dθ
=
1
2
2a
2 + b
2
Arccos
−a
b
+ 3a
b 2 − a 2
.
I.7.26. Une transformation en coordonnées polaires donne
r
sin
5 θ + cos
5 θ
= 5a sin
2 θ cos
2 θ.
La courbe a une boucle qui correspond aux valeurs de θ comprises entre 0 et
π
2 .
Donc,
|A| =
25
2
a
2
π/2
0
sin
4 θ cos 4 θ
sin
5 θ + cos 5 θ
2 dθ
=
25
2
a
2
π/2
0
tan 4 θ
(1 + tan 5 θ)
2 cos 2 θ
dθ
=
5
2
a
2
+∞
0
5u 4
(1 + u 5 )
2 du =
5
2
a
2
+∞
1
dv
v 2
=
5
2
a
2 .
1
1
2
x
y
x
5
+ y
5
= 5x
2
y
2
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