Solutions
De plus,
B 0 ∪ B 1 ∪ · · · ∪ B n ⊂ A ⊂ B 0 ∪ B 1 ∪ · · · ∪ B n ∪ D n ,
où D n = {(x, y) ∈ R 2 : 0 x
1
nπ , 0 y 1}. Le résultat découle alors du
fait que
|B 0 ∪ B 1 ∪ · · · ∪ B n | − |B 0 ∪ B 1 ∪ · · · ∪ B n ∪ D n | = |D n | =
1
nπ
.
I.7.21. Il suffit de montrer la mesurabilité au sens de Jordan de B =
+∞
k=1
K n .
On note que les K n sont deux à deux disjoints et
B n =
n
k=1
K n ⊂ B ⊂ B n ∪ D n = C n ,
où D n =
(x, y) ∈ R 2 : 0 x
1
n , −
1
4 n y
1
4 n
. Le résultat se déduit alors
de I.7.19 car |D n | tend vers zéro lorsque n tend vers +∞.
I.7.22. La mesurabilité au sens de Jordan de l’ensemble A découle du résultat énoncé en I.7.19. Pour une partition α = θ 0 < θ 1 < · · · < θ n = β,
on pose m i = min {f (θ) : θ i−1 θ θ i }, M i = max {f (θ) : θ i−1 θ θ i }
(i = 1, . . . , n) et on considère les secteurs angulaires
S i = {(r, θ) : 0 r m i , θ i−1 θ θ i }
S
i = {(r, θ) : 0 r M i , θ i−1 θ θ i } .
y = f (x)
x
y
β
α
Si B n =
n
i=1
S i et C n =
n
i=1
S
i , alors B n et C n sont des ensembles Jordanmesurables tels que B n ⊂ A ⊂ C n . De plus,
|B n | =
1
2
n
i=1
m
2
i (θ i − θ i−1 ), |C n | =
1
2
n
i=1
M
2
i (θ i − θ i−1 ).
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