Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
ouverts ]x − δ x , x + δ x [ recouvrent [x i−1 , x i ] et, d’après le théorème de HeineBorel, il existe donc un sous-recouvrement fini. Ceci implique que [x i−1 , x i ]
peut être divisé en un nombre fini de sous-intervalles fermés sur lesquels l’oscillation de f est inférieure à ε. On obtient de cette façon un affinement
P = {t 0 , t 1 , . . . , t m } de P 0 . De plus,
U (P, f ) − L(P, f ) =
m
i=1
(M i − m i )(t i − t i−1 ) = S 1 + S 2 ,
où S 1 contient les termes provenant des sous-intervalles contenant des points de
J ε et S 2 contient les termes restants. Si (M i −m i )(t i −t i−1 ) est un terme de S 2 ,
alors M i −m i < ε et S 2 < ε(b−a). On a pour S 1 la majoration S 1 (M −m)ε,
où M et m sont respectivement les bornes supérieure et inférieure de f sur
[a , b]. D’où,
U (P, f ) − L(P, f ) < ε(M − m + b − a),
ce qui prouve, d’après le théorème 1 de I.1, l’intégrabilité de f au sens de
Riemann.
I.7.19. Si A est Jordan-mesurable, il existe alors, par définition, deux suites
d’ensembles élémentaires vérifiant la condition. Supposons maintenant qu’il
existe des suites {B n } et {C n } d’ensembles Jordan-mesurables telles que
B n ⊂ A ⊂ C n et lim
n→+∞
|B n | = lim
n→+∞
|C n | = L. Étant donné ε > 0, il
existe alors n 0 tel que |L − |B n || <
ε
4 et |L − |C n || <
ε
4 pour n n 0 . De plus,
puisque B n et C n sont Jordan-mesurables, il existe des ensembles élémentaires
E n ⊂ B n et E
n ⊃ C n tels que |B n | − |E n | <
ε
4 et |E
n | − |C n | <
ε
4 . Il s’ensuit,
d’après le résultat de I.7.1, que A est Jordan-mesurable et |A| = L.
I.7.20. On utilise les résultats donnés en I.7.17 et I.7.19. On définit
B 0 =
(x, y) ∈ R
2 :
1
π
x 1, 0 y
sin
1
x
et, pour n ∈ N ∗ ,
B n =
(x, y) ∈ R
2 :
1
(n + 1)π
x
1
nπ
, 0 y
sin
1
x
.
Chaque ensemble B n est Jordan-mesurable et
|B 0 | =
1
1
π
sin
1
x
dx, |B n | =
1
nπ
1
(n+1)π
sin
1
x
dx.
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ouverts ]x − δ x , x + δ x [ recouvrent [x i−1 , x i ] et, d’après le théorème de HeineBorel, il existe donc un sous-recouvrement fini. Ceci implique que [x i−1 , x i ]
peut être divisé en un nombre fini de sous-intervalles fermés sur lesquels l’oscillation de f est inférieure à ε. On obtient de cette façon un affinement
P = {t 0 , t 1 , . . . , t m } de P 0 . De plus,
U (P, f ) − L(P, f ) =
m
i=1
(M i − m i )(t i − t i−1 ) = S 1 + S 2 ,
où S 1 contient les termes provenant des sous-intervalles contenant des points de
J ε et S 2 contient les termes restants. Si (M i −m i )(t i −t i−1 ) est un terme de S 2 ,
alors M i −m i < ε et S 2 < ε(b−a). On a pour S 1 la majoration S 1 (M −m)ε,
où M et m sont respectivement les bornes supérieure et inférieure de f sur
[a , b]. D’où,
U (P, f ) − L(P, f ) < ε(M − m + b − a),
ce qui prouve, d’après le théorème 1 de I.1, l’intégrabilité de f au sens de
Riemann.
I.7.19. Si A est Jordan-mesurable, il existe alors, par définition, deux suites
d’ensembles élémentaires vérifiant la condition. Supposons maintenant qu’il
existe des suites {B n } et {C n } d’ensembles Jordan-mesurables telles que
B n ⊂ A ⊂ C n et lim
n→+∞
|B n | = lim
n→+∞
|C n | = L. Étant donné ε > 0, il
existe alors n 0 tel que |L − |B n || <
ε
4 et |L − |C n || <
ε
4 pour n n 0 . De plus,
puisque B n et C n sont Jordan-mesurables, il existe des ensembles élémentaires
E n ⊂ B n et E
n ⊃ C n tels que |B n | − |E n | <
ε
4 et |E
n | − |C n | <
ε
4 . Il s’ensuit,
d’après le résultat de I.7.1, que A est Jordan-mesurable et |A| = L.
I.7.20. On utilise les résultats donnés en I.7.17 et I.7.19. On définit
B 0 =
(x, y) ∈ R
2 :
1
π
x 1, 0 y
sin
1
x
et, pour n ∈ N ∗ ,
B n =
(x, y) ∈ R
2 :
1
(n + 1)π
x
1
nπ
, 0 y
sin
1
x
.
Chaque ensemble B n est Jordan-mesurable et
|B 0 | =
1
1
π
sin
1
x
dx, |B n | =
1
nπ
1
(n+1)π
sin
1
x
dx.
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