Solutions
I.7.17. On a
b
a
f (x) dx = sup
n
i=1
m i (x i − x i−1 ),
où a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b est une partition de [a , b], m i =
inf {f (x) : x i−1 x x i } et la borne supérieure est prise sur l’ensemble de
toutes les partitions de [a , b]. Puisque les rectangles [x i−1 , x i ] × [0 , m i ],
i = 1, 2, . . . , n, forment un ensemble élémentaire contenu dans A f , on voit
que
|A f | ∗
b
a
f (x) dx.
D’autre part, étant donné ε > 0, il existe un ensemble élémentaire E ⊂ A f tel
que |E| > |A f | ∗ − ε. Supposons que l’ensemble élémentaire E soit une union de
rectangles [a i , b i ] × [c i , d i ], i = 1, 2, . . . , m. Si on ordonne toutes les extrémités
a i , b i , on obtient une partition P = {t 0 , t 1 , . . . , t s } de [a , b]. Il est clair que E
est inclus dans l’ensemble élémentaire formé des rectangles [t i−1 , t i ] × [0 , m i ]
(i = 1, 2, . . . , s) où m i = inf {f (x) : t i−1 x t i }. Donc,
b
a
f (x) dx |A f | ∗ − ε.
L’autre égalité se prouve de façon semblable.
I.7.18. On suppose que f est Riemann-intégrable sur [a , b] et que contrairement à l’énoncé du problème, |J ε |
∗ > 0 pour un ε > 0. Si P = {x 0 , x 1 , . . . , x n }
est une partition de [a , b] et si J ε ∩ [x i−1 , x i ] = ∅, alors M i − m i ε et
la somme des longueurs de tels intervalles [x i−1 , x i ] est supérieure ou égale
à |J ε |
∗ . Donc,
U (P, f ) − L(P, f ) =
n
n=1
(M i − m i )(x i − x i−1 ) ε |J ε |
∗ ,
ce qui contredit l’intégrabilité de f au sens de Riemann (voir le théorème 1 en I.1). On prouve maintenant que la condition est nécessaire.
On se donne ε > 0. Puisque |J ε |
∗ = 0, il existe un nombre fini de sousintervalles disjoints recouvrant J ε dont la somme des longueurs est inférieure à ε. On considère la partition P 0 = {x 0 , x 1 , . . . , x n } formée des extrémités de ces sous-intervalles. Si l’intervalle [x i−1 , x i ] ne contient pas de
point de J ε , alors o f (x) < ε pour x ∈ [x i−1 , x i ]. Par définition, il existe
δ x tel que diam f
]x − δ x , x + δ x [
< o f (x) + (ε − o f (x)) = ε. Les intervalles
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I.7.17. On a
b
a
f (x) dx = sup
n
i=1
m i (x i − x i−1 ),
où a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b est une partition de [a , b], m i =
inf {f (x) : x i−1 x x i } et la borne supérieure est prise sur l’ensemble de
toutes les partitions de [a , b]. Puisque les rectangles [x i−1 , x i ] × [0 , m i ],
i = 1, 2, . . . , n, forment un ensemble élémentaire contenu dans A f , on voit
que
|A f | ∗
b
a
f (x) dx.
D’autre part, étant donné ε > 0, il existe un ensemble élémentaire E ⊂ A f tel
que |E| > |A f | ∗ − ε. Supposons que l’ensemble élémentaire E soit une union de
rectangles [a i , b i ] × [c i , d i ], i = 1, 2, . . . , m. Si on ordonne toutes les extrémités
a i , b i , on obtient une partition P = {t 0 , t 1 , . . . , t s } de [a , b]. Il est clair que E
est inclus dans l’ensemble élémentaire formé des rectangles [t i−1 , t i ] × [0 , m i ]
(i = 1, 2, . . . , s) où m i = inf {f (x) : t i−1 x t i }. Donc,
b
a
f (x) dx |A f | ∗ − ε.
L’autre égalité se prouve de façon semblable.
I.7.18. On suppose que f est Riemann-intégrable sur [a , b] et que contrairement à l’énoncé du problème, |J ε |
∗ > 0 pour un ε > 0. Si P = {x 0 , x 1 , . . . , x n }
est une partition de [a , b] et si J ε ∩ [x i−1 , x i ] = ∅, alors M i − m i ε et
la somme des longueurs de tels intervalles [x i−1 , x i ] est supérieure ou égale
à |J ε |
∗ . Donc,
U (P, f ) − L(P, f ) =
n
n=1
(M i − m i )(x i − x i−1 ) ε |J ε |
∗ ,
ce qui contredit l’intégrabilité de f au sens de Riemann (voir le théorème 1 en I.1). On prouve maintenant que la condition est nécessaire.
On se donne ε > 0. Puisque |J ε |
∗ = 0, il existe un nombre fini de sousintervalles disjoints recouvrant J ε dont la somme des longueurs est inférieure à ε. On considère la partition P 0 = {x 0 , x 1 , . . . , x n } formée des extrémités de ces sous-intervalles. Si l’intervalle [x i−1 , x i ] ne contient pas de
point de J ε , alors o f (x) < ε pour x ∈ [x i−1 , x i ]. Par définition, il existe
δ x tel que diam f
]x − δ x , x + δ x [
< o f (x) + (ε − o f (x)) = ε. Les intervalles
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