Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
I.7.12. La construction de A implique que cet ensemble ne contient aucun
intervalle [a , b] (a < b), d’où |A| ∗ = 0. De plus, A c = [0 , 1] \ A est une union
dénombrable d’intervalles ouverts disjoints. D’après le résultat de II.1.2, on a
|A c | ∗ = α. On voit donc en utilisant la relation (1) de la solution de I.7.4 que
|A|
∗ = 1 − |A
c
| ∗ = 1 − α > |A| ∗ .
I.7.13. L’ensemble A est mesurable et sa mesure de Jordan est nulle. Ceci
se déduit du fait que |A ∩ [0 , k]|
∗ = 0 pour tout entier k strictement positif.
Soit ε > 0. Il existe n 0 tel que
1
n+k <
ε
k pour n > n 0 . L’union des intervalles
1 , 1 +
ε
k
, . . . ,
k − 1 , k − 1 +
ε
k
recouvre A ∩ [0 , k] excepté un nombre fini
de points, d’où |A ∩ [0 , k]|
∗
k−1
k ε < ε.
I.7.14. Il est clair que |A|
∗
1. D’autre part, si un ensemble élémentaire
E est contenu dans A, alors
+∞
k=1
I k est un recouvrement ouvert de l’ensemble
compact E. D’après le théorème de Heine-Borel, il existe un sous-recouvrement
fini. En conséquence, |E|
+∞
k=1
1
2 k+1 =
1
2 et |A| ∗
1
2 .
I.7.15. L’ensemble A défini au problème précédent est ouvert et n’est pas
Jordan-mesurable. Puisque cet ensemble est borné, il est inclus dans un intervalle fermé R et R \ A est donc un ensemble fermé qui n’est pas mesurable au
sens de Jordan.
I.7.16. Soit P = {x 0 , x 1 , . . . , x n } une partition de [a , b]. On a alors
b
a
χ A (x) dx = sup
n
i=1
m i (x i − x i−1 ),
où
m i =
1 si [x i−1 , x i ] ⊂ A,
0 sinon
et la borne supérieure est prise sur l’ensemble de toutes les partitions P . Donc,
b
a
χ A (x) dx = sup
[x i−1 ,x i ]⊂A
(x i − x i−1 ) = sup
E⊂A
|E| = |A| ∗ .
L’autre égalité se prouve de la même façon.
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I.7.12. La construction de A implique que cet ensemble ne contient aucun
intervalle [a , b] (a < b), d’où |A| ∗ = 0. De plus, A c = [0 , 1] \ A est une union
dénombrable d’intervalles ouverts disjoints. D’après le résultat de II.1.2, on a
|A c | ∗ = α. On voit donc en utilisant la relation (1) de la solution de I.7.4 que
|A|
∗ = 1 − |A
c
| ∗ = 1 − α > |A| ∗ .
I.7.13. L’ensemble A est mesurable et sa mesure de Jordan est nulle. Ceci
se déduit du fait que |A ∩ [0 , k]|
∗ = 0 pour tout entier k strictement positif.
Soit ε > 0. Il existe n 0 tel que
1
n+k <
ε
k pour n > n 0 . L’union des intervalles
1 , 1 +
ε
k
, . . . ,
k − 1 , k − 1 +
ε
k
recouvre A ∩ [0 , k] excepté un nombre fini
de points, d’où |A ∩ [0 , k]|
∗
k−1
k ε < ε.
I.7.14. Il est clair que |A|
∗
1. D’autre part, si un ensemble élémentaire
E est contenu dans A, alors
+∞
k=1
I k est un recouvrement ouvert de l’ensemble
compact E. D’après le théorème de Heine-Borel, il existe un sous-recouvrement
fini. En conséquence, |E|
+∞
k=1
1
2 k+1 =
1
2 et |A| ∗
1
2 .
I.7.15. L’ensemble A défini au problème précédent est ouvert et n’est pas
Jordan-mesurable. Puisque cet ensemble est borné, il est inclus dans un intervalle fermé R et R \ A est donc un ensemble fermé qui n’est pas mesurable au
sens de Jordan.
I.7.16. Soit P = {x 0 , x 1 , . . . , x n } une partition de [a , b]. On a alors
b
a
χ A (x) dx = sup
n
i=1
m i (x i − x i−1 ),
où
m i =
1 si [x i−1 , x i ] ⊂ A,
0 sinon
et la borne supérieure est prise sur l’ensemble de toutes les partitions P . Donc,
b
a
χ A (x) dx = sup
[x i−1 ,x i ]⊂A
(x i − x i−1 ) = sup
E⊂A
|E| = |A| ∗ .
L’autre égalité se prouve de la même façon.
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