Solutions
Pour finir, on suppose que A n’est pas borné et |∂A| = 0. On a alors,
pour tout pavé R, |∂A ∩ R| = 0 et on peut montrer en répétant la considération utilisée au début de la démonstration que, étant donné ε > 0,
|A ∩ R|
∗
|A ∩ R| ∗ + ε, ce qui implique la mesurabilité au sens de Jordan de
A ∩ R pour tout pavé R. Il suffit, pour prouver que |A|
∗ = |A| ∗ , de montrer
que |A| ∗ = lim
k→+∞
|A ∩ R k | ∗ . Pour cela, on pose l = lim
k→+∞
|A ∩ R k | ∗ . Clairement, l |A| ∗ . De plus, si E est un ensemble élémentaire contenu dans A,
alors E ⊂ A ∩ R k pour k suffisamment grand et |A| ∗ l.
I.7.10. En utilisant I.7.9 et le fait que
∂(A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ) ⊂ ∂(A 1 ) ∪ ∂(A 2 ) ∪ · · · ∪ ∂(A n ),
on voit qu’une union finie d’ensembles mesurables est mesurable. Il découle de
I.7.3 et I.7.8 que l’égalité annoncée est vérifiée pour n = 2. En effet, si A 1 et
A 2 sont séparés, alors
◦
ý
A 1 ∩ A 2 =
◦
A 1 ∩
◦
A 2 = ∅, d’où
|A 1 ∪ A 2 | = |A 1 ∪ A 2 | + |
◦
ý
A 1 ∩ A 2 | = |A 1 | + |A 2 | .
On procède maintenant par récurrence. On suppose l’égalité vérifiée à l’ordre
n et on prouve qu’elle l’est à l’ordre n + 1. On a
|(A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ) ∪ A n+1 | + |(A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ) ∩ A n+1 |
= |A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n | + |A n+1 | = |A 1 | + · · · + |A n | + |A n+1 | .
Il suffit pour conclure la démonstration de prouver que
|(A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ) ∩ A n+1 | = 0.
Ceci provient du fait que A i ∩ A n+1 ⊂ ∂(A i ).
I.7.11. On rappelle que C =
+∞
n=1
E n , où on pose E 1 =
0 ,
1
3
∪
2
3 , 1
,
E 2 =
0 ,
1
9
∪
2
9 ,
3
9
∪
6
9 ,
7
9
∪
8
9 , 1
et on obtient E n à partir de E n−1
en enlevant l’ouvert représentant le second tiers de tous les 2 n−1 intervalles
fermés formant E n−1 . Par construction, C ne contient aucun intervalle [a , b]
(a < b), d’où |C| ∗ = 0. Il est aussi clair que C est contenu dans chacun des
E n . Donc, |C|
∗
|E n | =
2
3
n − −−−− →
n→+∞
0.
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Pour finir, on suppose que A n’est pas borné et |∂A| = 0. On a alors,
pour tout pavé R, |∂A ∩ R| = 0 et on peut montrer en répétant la considération utilisée au début de la démonstration que, étant donné ε > 0,
|A ∩ R|
∗
|A ∩ R| ∗ + ε, ce qui implique la mesurabilité au sens de Jordan de
A ∩ R pour tout pavé R. Il suffit, pour prouver que |A|
∗ = |A| ∗ , de montrer
que |A| ∗ = lim
k→+∞
|A ∩ R k | ∗ . Pour cela, on pose l = lim
k→+∞
|A ∩ R k | ∗ . Clairement, l |A| ∗ . De plus, si E est un ensemble élémentaire contenu dans A,
alors E ⊂ A ∩ R k pour k suffisamment grand et |A| ∗ l.
I.7.10. En utilisant I.7.9 et le fait que
∂(A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ) ⊂ ∂(A 1 ) ∪ ∂(A 2 ) ∪ · · · ∪ ∂(A n ),
on voit qu’une union finie d’ensembles mesurables est mesurable. Il découle de
I.7.3 et I.7.8 que l’égalité annoncée est vérifiée pour n = 2. En effet, si A 1 et
A 2 sont séparés, alors
◦
ý
A 1 ∩ A 2 =
◦
A 1 ∩
◦
A 2 = ∅, d’où
|A 1 ∪ A 2 | = |A 1 ∪ A 2 | + |
◦
ý
A 1 ∩ A 2 | = |A 1 | + |A 2 | .
On procède maintenant par récurrence. On suppose l’égalité vérifiée à l’ordre
n et on prouve qu’elle l’est à l’ordre n + 1. On a
|(A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ) ∪ A n+1 | + |(A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ) ∩ A n+1 |
= |A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n | + |A n+1 | = |A 1 | + · · · + |A n | + |A n+1 | .
Il suffit pour conclure la démonstration de prouver que
|(A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ) ∩ A n+1 | = 0.
Ceci provient du fait que A i ∩ A n+1 ⊂ ∂(A i ).
I.7.11. On rappelle que C =
+∞
n=1
E n , où on pose E 1 =
0 ,
1
3
∪
2
3 , 1
,
E 2 =
0 ,
1
9
∪
2
9 ,
3
9
∪
6
9 ,
7
9
∪
8
9 , 1
et on obtient E n à partir de E n−1
en enlevant l’ouvert représentant le second tiers de tous les 2 n−1 intervalles
fermés formant E n−1 . Par construction, C ne contient aucun intervalle [a , b]
(a < b), d’où |C| ∗ = 0. Il est aussi clair que C est contenu dans chacun des
E n . Donc, |C|
∗
|E n | =
2
3
n − −−−− →
n→+∞
0.
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