Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
et seulement si A ⊂ E car E est fermé. Ceci montre que |A| = |A| ∗ . Puisque
|A| = |A| ∗ , on a
|A| = |A|.
(2)
Supposons maintenant que A n’est pas borné. Puisque que
◦
R est ouvert,
◦
R ∩ A ⊂
◦
R ∩ A.
De plus, les ensembles R ∩ A et
◦
R ∩ A diffèrent par un ensemble de mesure
extérieure de Jordan nulle. Il s’ensuit, d’après I.7.7, que
|R ∩ A| ∗ = |
◦
R ∩ A| ∗ |
◦
R ∩ A| ∗ |R ∩ A| ∗ = |R ∩ A| |R ∩ A| ∗ .
On peut facilement montrer que |R ∩ A| ∗ |R ∩ A| |R ∩ A| ∗ . Donc, pour
tout pavé R,
|R ∩ A| = |R ∩ A| .
Finalement, en prenant R = R k et en faisant tendre k vers +∞, on obtient (2)
pour des ensembles non bornés.
I.7.9. On suppose d’abord que A est borné. Puisque ∂A = A \
◦
A, on
voit, d’après les résultats de I.7.4 et I.7.8, que |∂A| = 0 si A est Jordanmesurable. Supposons maintenant que |∂A| = 0 et que A est contenu dans un
pavé R. Alors, étant donné ε > 0, il existe un ensemble élémentaire E ⊂ R
contenant la frontière de A et tel que |E| < ε. Donc R \ E = E 1 ∪ E 2 ,
où E 1 ⊂
◦
A et A ⊂ R \ E 2 . Puisque E 1 est un ensemble élémentaire, on a
|E 1 | =
E 1
|A| ∗ . Clairement, E 1 ∪ E est un ensemble élémentaire contenant
A et |A|
∗
|E 1 ∪ E| = |E 1 | + |E|. Donc, |A|
∗
− |A| ∗ < ε.
Si maintenant A est Jordan-mesurable et non borné, alors soit |A| < +∞,
soit |A| = +∞. Dans le premier cas, d’après les résultats de I.7.4 et I.7.8,
|∂A| = 0. Dans le second cas, pour tout pavé R,
0 |∂A ∩ R| = |A \
◦
A ∩ R| = |A ∩ R| − |
◦
A ∩ R|
= |A ∩
◦
R| − |
◦
A ∩
◦
R|,
car |∂R| = 0. De plus, puisque
◦
R est un ensemble ouvert, on a A∩
◦
R ⊂ A ∩
◦
R,
d’où
0 |∂A ∩ R| |A ∩
◦
R| − |
◦
û
A ∩ R| = |A ∩
◦
R| − |A ∩ R| 0,
ce qui implique |∂A| = 0.
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