Solutions
I.7.7. D’après l’égalité (3) dans la solution de I.7.4,
|A| ∗ = |(A ∪ B) \ (B \ A)| ∗ |A ∪ B| ∗ − |B \ A|
∗ = |A ∪ B| ∗ ,
la dernière égalité découlant de l’hypothèse |B|
∗ = 0. On a donc
|A| ∗ |A ∪ B| ∗ .
Puisque l’inégalité opposée est évidente, l’égalité est vérifiée.
Si on prend maintenant A comme défini en I.7.5 et B = ([0 , 1] × [0 , 1])\A,
on voit que
1 = |A ∪ B| ∗ = 0 = |A| ∗ ,
bien que |B| ∗ = 0.
I.7.8. On montre d’abord que
|A| =
◦
|A|.
(1)
Si un ensemble élémentaire E est contenu dans A, on a alors
◦
E ⊂
◦
A et
|E | =
◦
|E | ∗
◦
|A| ∗ . Donc, |A|
◦
|A| ∗ . L’inégalité opposée est évidente. Il est
aussi clair que
◦
|A| ∗
◦
|A|
∗
|A|. Cela prouve (1) et la mesurabilité au sens
de Jordan de
◦
A dans le cas où |A| < +∞. On doit prouver si |A| = +∞ que
◦
A∩R est Jordan-mesurable pour tout pavé R. Soit E un ensemble élémentaire
contenu dans A ∩ R. On a
◦
E ⊂
◦
û
A ∩ R =
◦
A ∩
◦
R ⊂
◦
A ∩ R.
Puisque A ∩ R est mesurable et |E| =
◦
|E|, on obtient
|A ∩ R| |
◦
A ∩ R| ∗ .
Clairement,
|
◦
A ∩ R| ∗ |A ∩ R| ,
ce qui montre que |
◦
A ∩ R| ∗ = |A ∩ R|. De plus,
|
◦
A ∩ R|
∗
|A ∩ R| = |
◦
A ∩ R| ∗ ,
ce qui complète la preuve de la mesurabilité au sens de Jordan de
◦
A.
On se tourne maintenant vers la démonstration de la seconde partie de
l’énoncé. Si A est borné, alors pour tout ensemble élémentaire E, A ⊂ E si
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