Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
L’autre égalité de (1) se prouve de façon semblable. On peut maintenant se
tourner vers la démonstration du résultat énoncé. On suppose d’abord que A 2
est borné. Soit R un pavé tel que A 1 ⊂ A 2 ⊂ R. On pose A = A 2 \ A 1 . On
a alors, en utilisant ce que l’on a prouvé précédemment,
|R \ A|
∗ = |(R \ A 2 ) ∪ A 1 |
∗
|R \ A 2 |
∗ + |A 1 |
∗ = |R| − |A 2 | ∗ + |A 1 |
∗ ,
d’où
|A| ∗ = |R| − |R \ A|
∗
|A 2 | ∗ − |A 1 |
∗ .
(3)
Un raisonnement semblable donne
|A|
∗ = |R| − |R \ A| ∗ |A 2 |
∗
− |A 1 | ∗ .
(4)
Puisque A 1 et A 2 sont mesurables, on obtient
|A| = |A 2 \ A 1 | = |A 2 | − |A 1 | .
(5)
Si A 2 n’est pas borné, on considère les ensembles A 1 ∩ R k et A 2 ∩ R k . Leur
différence est A ∩ R k qui vérifie (5). On obtient le résultat cherché en faisant
tendre k vers +∞, du moment que |A 1 | < +∞.
I.7.5. Les seuls rectangles contenus dans A sont [a , b]×[c , c], où [a , b] ⊂ [0 , 1]
et c ∈ [0 , 1] \ Q. Donc, |A| ∗ = 0. D’un autre côté, le plus petit rectangle contenant A est [0 , 1] × [0 , 1]. Donc, |A|
∗ = 1.
I.7.6. On va utiliser le résultat de I.7.1. Étant donné 0 < ε < 1, il existe
n 0 ∈ N ∗ tel que
1
n 0
ε
2
<
1
n 0 − 1
.
Soit E 1 un ensemble élémentaire inscrit dans B, formé de rectangles dont un
des côtés est [0 , 1] et dont l’autre est de longueur respectivement
1
2
−
ε
2n 0
,
1
2
−
1
3
−
ε
2n 0
, . . . ,
1
n 0 − 1
−
1
n 0
−
ε
2n 0
.
On a alors
|E 1 | = 1 −
1
n 0
−
n 0 − 1
n 0
×
ε
2
> 1 − ε.
En prenant E 2 = [0 , 1] × [0 , 1], on a |E 2 | − |E 1 | < ε. Il est clair que |B| = 1.
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