Solutions
En prenant la borne inférieure sur tous les ensembles élémentaires E 1 ⊃ A 1
et E 2 ⊃ A 2 , on obtient (1) pour les ensembles bornés. Si au moins un des
ensembles n’est pas borné, l’inégalité (1) est alors vérifiée pour A 1 ∩ R k et
A 2 ∩ R k avec R k = [−k , k] × · · · × [−k , k]. On obtient (1) en faisant tendre
k vers +∞. De plus, la définition de la mesure intérieure de Jordan implique
directement que (voir la démonstration de la première partie de (1))
|A 1 ∪ A 2 | ∗ + |A 1 ∩ A 2 | ∗ |A 1 | ∗ + |A 2 | ∗ .
(2)
Puisque A 1 et A 2 sont tous les deux Jordan-mesurables, (1) et (2) impliquent
|A 1 ∪ A 2 | ∗ + |A 1 ∩ A 2 | ∗ |A 1 | + |A 2 |
|A 1 ∪ A 2 |
∗ + |A 1 ∩ A 2 |
∗ .
En conséquence, si |A 1 | et |A 2 | sont finis, alors
(|A 1 ∪ A 2 |
∗
− |A 1 ∪ A 2 | ∗ ) + (|A 1 ∩ A 2 |
∗
− |A 1 ∩ A 2 | ∗ ) 0.
Chacun des termes du premier membre étant positif, on conclut que
|A 1 ∪ A 2 |
∗ = |A 1 ∪ A 2 | ∗ et |A 1 ∩ A 2 |
∗ = |A 1 ∩ A 2 | ∗ . Si un des ensembles a
une mesure de Jordan extérieure infinie, alors |A 1 ∪ A 2 |
∗ = |A 1 ∪ A 2 | ∗ = +∞
et la mesurabilité au sens de Jordan se déduit des considérations précédentes.
I.7.4. On prouve d’abord que si A est contenu dans un pavé R, alors
|A| ∗ = |R| − |R \ A|
∗
et |A|
∗ = |R| − |R \ A| ∗ .
(1)
On considère pour ce faire un ensemble élémentaire E 1 ⊂ A. L’ensemble élémentaire R \ E 1 contient alors R \ A et
|R| − |E 1 | = |R \ E 1 | |R \ A|
∗ .
Donc |E 1 | |R| − |R \ A|
∗ et on obtient en passant à la borne supérieure sur
l’ensemble de tous les E 1 ⊂ A
|A| ∗ |R| − |R \ A|
∗ .
(2)
Soit maintenant E 2 un ensemble élémentaire tel que R \ A ⊂ E 2 ⊂ R.
On a alors R \ E 2 ⊂ A et |R| − |E 2 | = |R \ E 2 | |A| ∗ , ce qui donne
|R| − |A| ∗ |E 2 |. On voit, en prenant la borne inférieure sur tous les
E 2 ⊃ R \ A, que
|R| − |A| ∗ |R \ A|
∗ .
Ceci, combiné avec (2), donne
|A| ∗ = |R| − |R \ A|
∗ .
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En prenant la borne inférieure sur tous les ensembles élémentaires E 1 ⊃ A 1
et E 2 ⊃ A 2 , on obtient (1) pour les ensembles bornés. Si au moins un des
ensembles n’est pas borné, l’inégalité (1) est alors vérifiée pour A 1 ∩ R k et
A 2 ∩ R k avec R k = [−k , k] × · · · × [−k , k]. On obtient (1) en faisant tendre
k vers +∞. De plus, la définition de la mesure intérieure de Jordan implique
directement que (voir la démonstration de la première partie de (1))
|A 1 ∪ A 2 | ∗ + |A 1 ∩ A 2 | ∗ |A 1 | ∗ + |A 2 | ∗ .
(2)
Puisque A 1 et A 2 sont tous les deux Jordan-mesurables, (1) et (2) impliquent
|A 1 ∪ A 2 | ∗ + |A 1 ∩ A 2 | ∗ |A 1 | + |A 2 |
|A 1 ∪ A 2 |
∗ + |A 1 ∩ A 2 |
∗ .
En conséquence, si |A 1 | et |A 2 | sont finis, alors
(|A 1 ∪ A 2 |
∗
− |A 1 ∪ A 2 | ∗ ) + (|A 1 ∩ A 2 |
∗
− |A 1 ∩ A 2 | ∗ ) 0.
Chacun des termes du premier membre étant positif, on conclut que
|A 1 ∪ A 2 |
∗ = |A 1 ∪ A 2 | ∗ et |A 1 ∩ A 2 |
∗ = |A 1 ∩ A 2 | ∗ . Si un des ensembles a
une mesure de Jordan extérieure infinie, alors |A 1 ∪ A 2 |
∗ = |A 1 ∪ A 2 | ∗ = +∞
et la mesurabilité au sens de Jordan se déduit des considérations précédentes.
I.7.4. On prouve d’abord que si A est contenu dans un pavé R, alors
|A| ∗ = |R| − |R \ A|
∗
et |A|
∗ = |R| − |R \ A| ∗ .
(1)
On considère pour ce faire un ensemble élémentaire E 1 ⊂ A. L’ensemble élémentaire R \ E 1 contient alors R \ A et
|R| − |E 1 | = |R \ E 1 | |R \ A|
∗ .
Donc |E 1 | |R| − |R \ A|
∗ et on obtient en passant à la borne supérieure sur
l’ensemble de tous les E 1 ⊂ A
|A| ∗ |R| − |R \ A|
∗ .
(2)
Soit maintenant E 2 un ensemble élémentaire tel que R \ A ⊂ E 2 ⊂ R.
On a alors R \ E 2 ⊂ A et |R| − |E 2 | = |R \ E 2 | |A| ∗ , ce qui donne
|R| − |A| ∗ |E 2 |. On voit, en prenant la borne inférieure sur tous les
E 2 ⊃ R \ A, que
|R| − |A| ∗ |R \ A|
∗ .
Ceci, combiné avec (2), donne
|A| ∗ = |R| − |R \ A|
∗ .
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