Chapitre I. L’intégrale de Riemann-Stieltjes
Ceci montre que la condition est nécessaire. On prouve maintenant que la
condition est aussi suffisante pour la mesurabilité au sens de Jordan de A. En
effet, étant donné ε > 0, on a
|A|
∗
− |A| ∗ |E 2 | − |E 1 | < ε,
ce qui implique |A|
∗ = |A| ∗ .
I.7.2. Puisque les A i (i = 1, 2, . . . , n) sont Jordan-mesurables, d’après le
résultat du problème précédent, étant donné ε > 0, il existe des ensembles
élémentaires E i et E
i tels que E i ⊂ A i ⊂ E
i et |E
i | − |E i | <
ε
n . On a donc,
pour i = 1, 2, . . . , n,
|A i | −
ε
n
< |E i | et
E
i
< |A i | +
ε
n
.
On remarque alors que les E i sont deux à deux séparés,
E 1 ∪ E 2 ∪ · · · ∪ E n ⊂ A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n
et E 1 ∪ E 2 ∪ · · · ∪ E n est un ensemble élémentaire dont le volume est
|E 1 | + |E 2 | + · · · + |E n |. D’autre part,
A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ⊂ E
1 ∪ E
2 ∪ · · · ∪ E
n
et E
1 ∪ E
2 ∪ · · · ∪ E
n est un ensemble élémentaire dont le volume est
|E
1 | + |E
2 | + · · · + |E
n |. En conséquence,
|A 1 | + |A 2 | + · · · + |A n | − ε < |E 1 | + |E 2 | + · · · + |E n |
|A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n | ∗
|A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n |
∗
E
1
+
E
2
+ · · · +
E
n
< |A 1 | + |A 2 | + · · · + |A n | + ε.
Puisque l’on peut choisir ε > 0 arbitrairement, le résultat cherché suit.
I.7.3. Il est clair que l’énoncé est vrai pour les ensembles élémentaires. On
démontre d’abord que
|A 1 ∪ A 2 |
∗ + |A 1 ∩ A 2 |
∗
|A 1 |
∗ + |A 2 |
∗ .
(1)
En effet, si A 1 et A 2 sont bornés et si E 1 et E 2 sont des ensembles élémentaires tels que A 1 ⊂ E 1 et A 2 ⊂ E 2 , alors E 1 ∪ E 2 et E 1 ∩ E 2 sont tous les
deux des ensembles élémentaires (ou E 1 ∩ E 2 = ∅) et A 1 ∪ A 2 ⊂ E 1 ∪ E 2 ,
A 1 ∩ A 2 ⊂ E 1 ∩ E 2 . Donc,
|A 1 ∪ A 2 |
∗ + |A 1 ∩ A 2 |
∗
|E 1 ∪ E 2 | + |E 1 ∩ E 2 | = |E 1 | + |E 2 | .
190
Ceci montre que la condition est nécessaire. On prouve maintenant que la
condition est aussi suffisante pour la mesurabilité au sens de Jordan de A. En
effet, étant donné ε > 0, on a
|A|
∗
− |A| ∗ |E 2 | − |E 1 | < ε,
ce qui implique |A|
∗ = |A| ∗ .
I.7.2. Puisque les A i (i = 1, 2, . . . , n) sont Jordan-mesurables, d’après le
résultat du problème précédent, étant donné ε > 0, il existe des ensembles
élémentaires E i et E
i tels que E i ⊂ A i ⊂ E
i et |E
i | − |E i | <
ε
n . On a donc,
pour i = 1, 2, . . . , n,
|A i | −
ε
n
< |E i | et
E
i
< |A i | +
ε
n
.
On remarque alors que les E i sont deux à deux séparés,
E 1 ∪ E 2 ∪ · · · ∪ E n ⊂ A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n
et E 1 ∪ E 2 ∪ · · · ∪ E n est un ensemble élémentaire dont le volume est
|E 1 | + |E 2 | + · · · + |E n |. D’autre part,
A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ⊂ E
1 ∪ E
2 ∪ · · · ∪ E
n
et E
1 ∪ E
2 ∪ · · · ∪ E
n est un ensemble élémentaire dont le volume est
|E
1 | + |E
2 | + · · · + |E
n |. En conséquence,
|A 1 | + |A 2 | + · · · + |A n | − ε < |E 1 | + |E 2 | + · · · + |E n |
|A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n | ∗
|A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n |
∗
E
1
+
E
2
+ · · · +
E
n
< |A 1 | + |A 2 | + · · · + |A n | + ε.
Puisque l’on peut choisir ε > 0 arbitrairement, le résultat cherché suit.
I.7.3. Il est clair que l’énoncé est vrai pour les ensembles élémentaires. On
démontre d’abord que
|A 1 ∪ A 2 |
∗ + |A 1 ∩ A 2 |
∗
|A 1 |
∗ + |A 2 |
∗ .
(1)
En effet, si A 1 et A 2 sont bornés et si E 1 et E 2 sont des ensembles élémentaires tels que A 1 ⊂ E 1 et A 2 ⊂ E 2 , alors E 1 ∪ E 2 et E 1 ∩ E 2 sont tous les
deux des ensembles élémentaires (ou E 1 ∩ E 2 = ∅) et A 1 ∪ A 2 ⊂ E 1 ∪ E 2 ,
A 1 ∩ A 2 ⊂ E 1 ∩ E 2 . Donc,
|A 1 ∪ A 2 |
∗ + |A 1 ∩ A 2 |
∗
|E 1 ∪ E 2 | + |E 1 ∩ E 2 | = |E 1 | + |E 2 | .
190